Mga katangian ng decimal logarithms na may mga halimbawa. Logarithm - mga katangian, formula, graph

Ngayon ay pag-uusapan natin mga logarithmic formula at magbibigay kami ng indicative mga halimbawa ng solusyon.

Sila mismo ay nagpapahiwatig ng mga pattern ng solusyon ayon sa mga pangunahing katangian ng logarithms. Bago ilapat ang mga logarithmic formula upang malutas, ipaalala namin sa iyo ang lahat ng mga katangian:

Ngayon, batay sa mga formula na ito (properties), ipapakita namin mga halimbawa ng paglutas ng logarithms.

Mga halimbawa ng paglutas ng logarithms batay sa mga formula.

Logarithm ang isang positibong numero b sa base a (na tinutukoy ng log a b) ay isang exponent kung saan dapat itaas ang a upang makuha ang b, na may b > 0, a > 0, at 1.

Ayon sa kahulugan, mag-log a b = x, na katumbas ng isang x = b, samakatuwid mag-log a a x = x.

Logarithms, mga halimbawa:

log 2 8 = 3, dahil 2 3 = 8

log 7 49 = 2, dahil 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, dahil 5 -1 = 1/5

Decimal logarithm- ito ay isang ordinaryong logarithm, ang base nito ay 10. Ito ay tinutukoy bilang lg.

log 10 100 = 2, dahil 10 2 = 100

Likas na logarithm- isa ring ordinaryong logarithm logarithm, ngunit may base na e (e = 2.71828... - isang hindi makatwirang numero). Tinutukoy bilang ln.

Maipapayo na kabisaduhin ang mga formula o katangian ng logarithms, dahil kakailanganin natin ang mga ito sa paglutas ng mga logarithms, logarithmic equation at inequalities. Gawin nating muli ang bawat formula na may mga halimbawa.

• Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan
  isang log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Ang logarithm ng produkto ay katumbas ng kabuuan ng mga logarithm
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

• Ang logarithm ng quotient ay katumbas ng pagkakaiba ng logarithms
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Mga katangian ng kapangyarihan ng isang logarithmic number at ang base ng logarithm

  Exponent ng logarithmic number log a b m = mlog a b

  Exponent ng base ng logarithm log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  kung m = n, makakakuha tayo ng log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Paglipat sa isang bagong pundasyon
  log a b = log c b/log c a,

  kung c = b, makakakuha tayo ng log b b = 1

  pagkatapos ay mag-log a b = 1/log b a

  log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

Tulad ng makikita mo, ang mga formula para sa logarithms ay hindi kasing kumplikado ng tila. Ngayon, sa pagtingin sa mga halimbawa ng paglutas ng mga logarithms, maaari tayong magpatuloy sa mga logarithmic equation. Titingnan natin ang mga halimbawa ng paglutas ng mga logarithmic equation nang mas detalyado sa artikulo: "". Huwag palampasin ito!

Kung mayroon ka pa ring mga katanungan tungkol sa solusyon, isulat ang mga ito sa mga komento sa artikulo.

Tandaan: nagpasya kaming kumuha ng ibang klase ng edukasyon at mag-aral sa ibang bansa bilang opsyon.

Sa ratio

ang gawain ng paghahanap ng alinman sa tatlong mga numero mula sa iba pang dalawang ibinigay na mga ay maaaring itakda. Kung ang a at pagkatapos ay ang N ay ibinigay, sila ay matatagpuan sa pamamagitan ng exponentiation. Kung ang N at pagkatapos ay a ay ibinigay sa pamamagitan ng pagkuha ng ugat ng digri x (o pagtataas nito sa kapangyarihan). Ngayon isaalang-alang ang kaso kung kailan, ibinigay ang a at N, kailangan nating hanapin ang x.

Hayaang maging positibo ang bilang N: ang bilang a ay positibo at hindi katumbas ng isa: .

Kahulugan. Ang logarithm ng numero N sa base a ay ang exponent kung saan dapat itaas ang a upang makuha ang numerong N; ang logarithm ay tinutukoy ng

Kaya, sa pagkakapantay-pantay (26.1) ang exponent ay matatagpuan bilang logarithm ng N sa base a. Mga post

may parehong kahulugan. Ang pagkakapantay-pantay (26.1) ay kung minsan ay tinatawag na pangunahing pagkakakilanlan ng teorya ng logarithms; sa katotohanan ito ay nagpapahayag ng kahulugan ng konsepto ng logarithm. Sa pamamagitan ng kahulugang ito, ang base ng logarithm a ay palaging positibo at naiiba sa pagkakaisa; ang logarithmic number N ay positibo. Ang mga negatibong numero at zero ay walang logarithms. Mapapatunayan na ang anumang numero na may ibinigay na base ay may mahusay na tinukoy na logarithm. Samakatuwid ang pagkakapantay-pantay ay kasama. Tandaan na ang kundisyon ay mahalaga dito; kung hindi, ang konklusyon ay hindi makatwiran, dahil ang pagkakapantay-pantay ay totoo para sa anumang mga halaga ng x at y.

Halimbawa 1. Hanapin

Solusyon. Upang makakuha ng isang numero, dapat mong itaas ang base 2 sa kapangyarihan Samakatuwid.

Maaari kang gumawa ng mga tala kapag nilulutas ang mga naturang halimbawa sa sumusunod na anyo:

Halimbawa 2. Hanapin .

Solusyon. meron tayo

Sa mga halimbawa 1 at 2, madali naming natagpuan ang nais na logarithm sa pamamagitan ng pagre-represent sa numero ng logarithm bilang kapangyarihan ng base na may rational exponent. Sa pangkalahatang kaso, halimbawa, para sa atbp., hindi ito magagawa, dahil ang logarithm ay may hindi makatwirang halaga. Bigyang-pansin natin ang isang isyu na may kaugnayan sa pahayag na ito. Sa talata 12, ibinigay namin ang konsepto ng posibilidad ng pagtukoy ng anumang tunay na kapangyarihan ng isang naibigay na positibong numero. Ito ay kinakailangan para sa pagpapakilala ng mga logarithms, na, sa pangkalahatan, ay maaaring hindi makatwiran na mga numero.

Tingnan natin ang ilang mga katangian ng logarithms.

Property 1. Kung ang numero at base ay pantay, kung gayon ang logarithm ay katumbas ng isa, at, sa kabaligtaran, kung ang logarithm ay katumbas ng isa, kung gayon ang numero at base ay pantay.

Patunay. Hayaan Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang logarithm mayroon tayo at kung saan

Sa kabaligtaran, hayaan ang Pagkatapos sa pamamagitan ng kahulugan

Property 2. Ang logarithm ng isa sa anumang base ay katumbas ng zero.

Patunay. Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang logarithm (ang zero na kapangyarihan ng anumang positibong base ay katumbas ng isa, tingnan ang (10.1)). Mula dito

Q.E.D.

Ang kabaligtaran na pahayag ay totoo rin: kung , kung gayon N = 1. Sa katunayan, mayroon tayong .

Bago bumalangkas ng susunod na katangian ng logarithms, sumang-ayon tayo na sabihin na ang dalawang numero a at b ay nasa magkabilang panig ng ikatlong numero c kung pareho silang mas malaki sa c o mas mababa sa c. Kung ang isa sa mga numerong ito ay mas malaki kaysa sa c, at ang isa ay mas mababa sa c, pagkatapos ay sasabihin namin na sila ay nakahiga sa magkabilang panig ng c.

Property 3. Kung ang numero at base ay nasa magkabilang panig ng isa, ang logarithm ay positibo; Kung ang numero at base ay nasa magkabilang panig ng isa, ang logarithm ay negatibo.

Ang patunay ng property 3 ay batay sa katotohanan na ang kapangyarihan ng a ay mas malaki kaysa sa isa kung ang base ay mas malaki kaysa sa isa at ang exponent ay positibo o ang base ay mas mababa sa isa at ang exponent ay negatibo. Ang kapangyarihan ay mas mababa sa isa kung ang base ay mas malaki sa isa at ang exponent ay negatibo o ang base ay mas mababa sa isa at ang exponent ay positibo.

Mayroong apat na kaso na dapat isaalang-alang:

Limitahan natin ang ating sarili sa pag-aaral ng una sa kanila; isasaalang-alang ng mambabasa ang natitira sa kanyang sarili.

Hayaan pagkatapos sa pagkakapantay-pantay ang exponent ay maaaring hindi negatibo o katumbas ng zero, samakatuwid, ito ay positibo, ibig sabihin, kung kinakailangan upang mapatunayan.

Halimbawa 3. Alamin kung alin sa mga logarithm sa ibaba ang positibo at alin ang negatibo:

Solusyon, a) dahil ang numero 15 at ang base 12 ay matatagpuan sa parehong bahagi ng isa;

b) dahil ang 1000 at 2 ay matatagpuan sa isang bahagi ng yunit; sa kasong ito, hindi mahalaga na ang base ay mas malaki kaysa sa logarithmic number;

c) dahil ang 3.1 at 0.8 ay nasa magkabilang panig ng pagkakaisa;

G); Bakit?

d); Bakit?

Ang mga sumusunod na katangian 4-6 ay madalas na tinatawag na mga patakaran ng logarithmation: pinapayagan nila, alam ang logarithms ng ilang mga numero, upang mahanap ang logarithms ng kanilang produkto, quotient, at antas ng bawat isa sa kanila.

Property 4 (product logarithm rule). Ang logarithm ng produkto ng ilang positibong numero sa isang ibinigay na base ay katumbas ng kabuuan ng logarithms ng mga numerong ito sa parehong base.

Patunay. Hayaang maging positibo ang ibinigay na mga numero.

Para sa logarithm ng kanilang produkto, isinusulat namin ang pagkakapantay-pantay (26.1) na tumutukoy sa logarithm:

Mula dito makikita natin

Ang paghahambing ng mga exponents ng una at huling mga expression, makuha namin ang kinakailangang pagkakapantay-pantay:

Tandaan na ang kondisyon ay mahalaga; ang logarithm ng produkto ng dalawang negatibong numero ay may katuturan, ngunit sa kasong ito nakukuha natin

Sa pangkalahatan, kung ang produkto ng ilang mga kadahilanan ay positibo, kung gayon ang logarithm nito ay katumbas ng kabuuan ng mga logarithms ng mga ganap na halaga ng mga salik na ito.

Property 5 (panuntunan para sa pagkuha ng logarithms ng mga quotient). Ang logarithm ng isang quotient ng mga positibong numero ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng logarithms ng dibidendo at ng divisor, na dinala sa parehong base. Patunay. Palagi kaming nakakahanap

Q.E.D.

Property 6 (power logarithm rule). Ang logarithm ng kapangyarihan ng anumang positibong numero ay katumbas ng logarithm ng numerong iyon na pinarami ng exponent.

Patunay. Isulat nating muli ang pangunahing pagkakakilanlan (26.1) para sa numero:

Q.E.D.

Bunga. Ang logarithm ng isang ugat ng isang positibong numero ay katumbas ng logarithm ng radical na hinati sa exponent ng ugat:

Ang bisa ng corollary na ito ay mapapatunayan sa pamamagitan ng pag-iisip kung paano at paggamit ng ari-arian 6.

Halimbawa 4. Kunin ang logarithm sa base a:

a) (pinapalagay na ang lahat ng mga halaga b, c, d, e ay positibo);

b) (pinapalagay na ).

Solusyon, a) Maginhawang pumunta sa fractional powers sa expression na ito:

Batay sa mga pagkakapantay-pantay (26.5)-(26.7), maaari na nating isulat ang:

Napansin namin na ang mga mas simpleng operasyon ay ginagawa sa mga logarithms ng mga numero kaysa sa mga numero mismo: kapag nagpaparami ng mga numero, ang kanilang mga logarithm ay idinagdag, kapag naghahati, sila ay ibawas, atbp.

Iyon ang dahilan kung bakit ginagamit ang mga logarithm sa pagsasanay sa pag-compute (tingnan ang talata 29).

Ang kabaligtaran na aksyon ng logarithm ay tinatawag na potentiation, ibig sabihin: ang potentiation ay ang aksyon kung saan ang numero mismo ay matatagpuan mula sa isang ibinigay na logarithm ng isang numero. Sa esensya, ang potentiation ay hindi anumang espesyal na aksyon: ito ay bumababa sa pagtaas ng base sa isang kapangyarihan (katumbas ng logarithm ng isang numero). Ang terminong "potentiation" ay maaaring ituring na kasingkahulugan ng terminong "exponentiation".

Kapag potentiating, dapat gamitin ng isang tao ang mga patakaran na kabaligtaran sa mga patakaran ng logarithmation: palitan ang kabuuan ng logarithm ng logarithm ng produkto, ang pagkakaiba ng logarithm sa logarithm ng quotient, atbp. Sa partikular, kung mayroong isang kadahilanan sa harap ng sign ng logarithm, pagkatapos ay sa panahon ng potentiation dapat itong ilipat sa exponent degrees sa ilalim ng sign ng logarithm.

Halimbawa 5. Hanapin ang N kung alam na

Solusyon. Kaugnay ng nakasaad na tuntunin ng potentiation, ililipat namin ang mga salik na 2/3 at 1/3 na nakatayo sa harap ng mga palatandaan ng logarithms sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito sa mga exponent sa ilalim ng mga palatandaan ng logarithms na ito; nakukuha namin

Ngayon ay pinapalitan namin ang pagkakaiba ng logarithms sa logarithm ng quotient:

para makuha ang huling fraction sa chain of equalities na ito, pinalaya namin ang nakaraang fraction mula sa irrationality sa denominator (seksyon 25).

Pag-aari 7. Kung ang base ay mas malaki kaysa sa isa, kung gayon ang mas malaking bilang ay may mas malaking logarithm (at ang mas maliit ay may mas maliit), kung ang base ay mas mababa sa isa, kung gayon ang mas malaking numero ay may mas maliit na logarithm (at ang mas maliit ang isa ay may mas malaki).

Ang ari-arian na ito ay binabalangkas din bilang isang panuntunan para sa pagkuha ng mga logarithms ng mga hindi pagkakapantay-pantay, ang magkabilang panig nito ay positibo:

Kapag nag-logarithming ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa isang base na mas malaki sa isa, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay napanatili, at kapag ang logarithming sa isang base na mas mababa sa isa, ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay ay nagbabago sa kabaligtaran (tingnan din ang talata 80).

Ang patunay ay batay sa mga katangian 5 at 3. Isaalang-alang ang kaso kapag Kung , pagkatapos at, pagkuha ng logarithms, nakuha namin

(a at N/M ay nasa magkabilang panig ng pagkakaisa). Mula dito

Kaso a sumusunod, ang mambabasa ang mag-isa niyang unawain.

Logarithm na may base a ay isang function ng y (x) = log a x, baligtad sa exponential function na may base a: x (y) = a y.

Decimal logarithm ay ang logarithm sa base ng isang numero 10 : log x ≡ log 10 x.

Likas na logarithm ay ang logarithm sa base ng e: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

Ang graph ng logarithm ay nakuha mula sa graph ng exponential function sa pamamagitan ng pag-mirror nito na may paggalang sa tuwid na linya y = x. Sa kaliwa ay mga graph ng function na y(x) = log a x para sa apat na halaga mga base ng logarithm 2 : a = 8 : a = 1/2 , a = 1/8 at a = 1 . 0 < a < 1 Ipinapakita ng graph na kapag ang isang >

monotonically tumataas ang logarithm. Habang tumataas ang x, makabuluhang bumagal ang paglago. Sa

monotonically bumababa ang logarithm.

Mga katangian ng logarithm

Domain, hanay ng mga halaga, pagtaas, pagbaba	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Ang logarithm ay isang monotonic function, kaya wala itong extrema. Ang mga pangunahing katangian ng logarithm ay ipinakita sa talahanayan.	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Domain ng kahulugan	Saklaw ng mga halaga	Monotone
monotonically pagtaas 0	monotonically bumababa 1	monotonically bumababa 1
Mga zero, y = 0	x =	x =
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Harangin ang mga puntos na may ordinate axis, x =

Hindi Mga pribadong halaga Ang logarithm sa base 10 ay tinatawag

decimal logarithm at ipinapahiwatig ng mga sumusunod: Logarithm sa base e:

tinawag

natural na logarithm

Mga pangunahing formula para sa logarithms

Mga katangian ng logarithm na nagmumula sa kahulugan ng inverse function:

Ang pangunahing pag-aari ng logarithms at ang mga kahihinatnan nito ay ang mathematical operation ng pagkuha ng logarithm. Kapag kumukuha ng logarithms, ang mga produkto ng mga salik ay kino-convert sa kabuuan ng mga termino.

Potentiation ay ang inverse mathematical operation ng logarithm. Sa panahon ng potentiation, ang isang naibigay na base ay itataas sa antas ng pagpapahayag kung saan ginaganap ang potentiation. Sa kasong ito, ang mga kabuuan ng mga termino ay binago sa mga produkto ng mga kadahilanan.

Patunay ng mga pangunahing formula para sa logarithms

Ang mga formula na nauugnay sa logarithms ay sumusunod mula sa mga formula para sa exponential function at mula sa kahulugan ng isang inverse function.

Isaalang-alang ang pag-aari ng exponential function
.
Pagkatapos
.
Ilapat natin ang property ng exponential function
:
.

Patunayan natin ang base replacement formula.
;
.
Ipagpalagay na c = b, mayroon kaming:

Baliktad na pag-andar

Ang kabaligtaran ng isang logarithm sa base a ay isang exponential function na may exponent a.

Kung , kung gayon

Kung , kung gayon

Derivative ng logarithm

Derivative ng logarithm ng modulus x:
.
Derivative ng nth order:
.
Pagkuha ng mga formula > > >

Upang mahanap ang derivative ng isang logarithm, dapat itong bawasan sa base at ipinapahiwatig ng mga sumusunod:.
;
.

integral

Ang integral ng logarithm ay kinakalkula sa pamamagitan ng pagsasama ng mga bahagi: .
Kaya,

Mga expression na gumagamit ng mga kumplikadong numero

Isaalang-alang ang complex number function z:
.
Ipahayag natin ang isang kumplikadong numero z sa pamamagitan ng modyul r at argumento φ :
.
Pagkatapos, gamit ang mga katangian ng logarithm, mayroon tayong:
.
O kaya

Gayunpaman, ang argumento φ hindi natatanging tinukoy. Kung ilalagay mo
, kung saan ang n ay isang integer,
pagkatapos ito ay magiging parehong numero para sa iba't ibang n.

Samakatuwid, ang logarithm, bilang isang function ng isang complex variable, ay hindi isang single-valued function.

Pagpapalawak ng serye ng kapangyarihan

Kapag naganap ang pagpapalawak:

Ginamit na panitikan:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng matematika para sa mga inhinyero at mag-aaral sa kolehiyo, "Lan", 2009.

Ang mga logarithm, tulad ng anumang mga numero, ay maaaring idagdag, ibawas at baguhin sa lahat ng paraan. Ngunit dahil ang logarithms ay hindi eksaktong ordinaryong mga numero, may mga panuntunan dito, na tinatawag pangunahing katangian.

Tiyak na kailangan mong malaman ang mga patakarang ito - hindi isang solong seryosong problema sa logarithmic ang malulutas nang wala ang mga ito. Bilang karagdagan, napakakaunti sa kanila - maaari mong matutunan ang lahat sa isang araw. Kaya simulan na natin.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms

Isaalang-alang ang dalawang logarithms na may parehong mga base: log a x at mag-log a y. Pagkatapos ay maaari silang idagdag at ibawas, at:

1. log a x+ log a y= log a (x · y);
2. log a x− log a y= log a (x : y).

Kaya, ang kabuuan ng logarithm ay katumbas ng logarithm ng produkto, at ang pagkakaiba ay katumbas ng logarithm ng quotient. Mangyaring tandaan: ang pangunahing punto dito ay magkatulad na batayan. Kung magkaiba ang mga dahilan, hindi gagana ang mga patakarang ito!

Tutulungan ka ng mga formula na ito na kalkulahin ang isang logarithmic expression kahit na ang mga indibidwal na bahagi nito ay hindi isinasaalang-alang (tingnan ang aralin na "Ano ang logarithm"). Tingnan ang mga halimbawa at tingnan:

Log 6 4 + log 6 9.

Dahil ang logarithms ay may parehong mga base, ginagamit namin ang sum formula:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 2 48 − log 2 3.

Ang mga base ay pareho, ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 3 135 − log 3 5.

Muli ang mga base ay pareho, kaya mayroon kaming:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Tulad ng makikita mo, ang orihinal na mga expression ay binubuo ng "masamang" logarithms, na hindi hiwalay na kinakalkula. Ngunit pagkatapos ng mga pagbabago, ganap na normal na mga numero ang nakuha. Maraming pagsubok ang nakabatay sa katotohanang ito. Oo, ang mga ekspresyong tulad ng pagsubok ay inaalok sa lahat ng kaseryosohan (kung minsan ay halos walang pagbabago) sa Pinag-isang Estado na Pagsusuri.

Pag-extract ng exponent mula sa logarithm

Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain. Paano kung ang batayan o argumento ng isang logarithm ay isang kapangyarihan? Kung gayon ang exponent ng degree na ito ay maaaring alisin sa sign ng logarithm ayon sa mga sumusunod na patakaran:

Madaling makita na ang huling tuntunin ay sumusunod sa unang dalawa. Ngunit mas mahusay na tandaan ito pa rin - sa ilang mga kaso ay makabuluhang bawasan nito ang dami ng mga kalkulasyon.

Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ ng logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x> 0. At isa pang bagay: matutong ilapat ang lahat ng mga formula hindi lamang mula kaliwa hanggang kanan, kundi pati na rin sa kabaligtaran, i.e. Maaari mong ipasok ang mga numero bago mag-sign ang logarithm sa logarithm mismo. Ito ang madalas na kinakailangan.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 7 49 6 .

Tanggalin natin ang antas sa argumento gamit ang unang formula:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:

[Caption para sa larawan]

Tandaan na ang denominator ay naglalaman ng logarithm, na ang base at argumento ay eksaktong mga kapangyarihan: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Mayroon kaming:

[Caption para sa larawan]

Sa tingin ko ang huling halimbawa ay nangangailangan ng ilang paglilinaw. Saan napunta ang logarithms? Hanggang sa pinakahuling sandali ay nagtatrabaho lamang kami sa denominator. Iniharap namin ang base at argumento ng logarithm na nakatayo doon sa anyo ng mga kapangyarihan at kinuha ang mga exponents - nakakuha kami ng isang "tatlong palapag" na bahagi.

Ngayon tingnan natin ang pangunahing bahagi. Ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong numero: log 2 7. Dahil log 2 7 ≠ 0, maaari nating bawasan ang fraction - 2/4 ay mananatili sa denominator. Ayon sa mga tuntunin ng aritmetika, ang apat ay maaaring ilipat sa numerator, na kung ano ang ginawa. Ang resulta ay ang sagot: 2.

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Sa pagsasalita tungkol sa mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms, partikular kong binigyang-diin na gumagana lamang ang mga ito sa parehong mga base. Paano kung magkaiba ang mga dahilan? Paano kung hindi sila eksaktong mga kapangyarihan ng parehong bilang?

Ang mga formula para sa paglipat sa isang bagong pundasyon ay sumagip. Bumalangkas tayo sa anyo ng isang teorama:

Hayaang ibigay ang logarithm log a x. Pagkatapos ay para sa anumang numero c ganyan c> 0 at c≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

[Caption para sa larawan]

Sa partikular, kung ilalagay natin c = x, nakukuha namin ang:

[Caption para sa larawan]

Mula sa pangalawang pormula ay sumusunod na ang base at argumento ng logarithm ay maaaring palitan, ngunit sa kasong ito ang buong expression ay "ibinalik", i.e. lumalabas ang logarithm sa denominator.

Ang mga formula na ito ay bihirang makita sa mga ordinaryong numerical expression. Posibleng suriin kung gaano kaginhawa ang mga ito kapag nilulutas ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Gayunpaman, may mga problema na hindi malulutas sa lahat maliban sa paglipat sa isang bagong pundasyon. Tingnan natin ang ilan sa mga ito:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 5 16 log 2 25.

Tandaan na ang mga argumento ng parehong logarithms ay naglalaman ng eksaktong mga kapangyarihan. Kunin natin ang mga tagapagpahiwatig: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Ngayon ay "baligtarin" natin ang pangalawang logarithm:

[Caption para sa larawan]

Dahil ang produkto ay hindi nagbabago kapag muling inaayos ang mga kadahilanan, mahinahon naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay hinarap ang mga logarithms.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 9 100 lg 3.

Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. Isulat natin ito at alisin ang mga tagapagpahiwatig:

[Caption para sa larawan]

Ngayon, alisin natin ang decimal logarithm sa pamamagitan ng paglipat sa isang bagong base:

[Caption para sa larawan]

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Kadalasan sa proseso ng solusyon ay kinakailangan upang kumatawan sa isang numero bilang isang logarithm sa isang naibigay na base. Sa kasong ito, ang mga sumusunod na formula ay makakatulong sa amin:

Sa unang kaso, ang numero n nagiging tagapagpahiwatig ng antas na nakatayo sa argumento. Numero n maaaring maging anumang bagay, dahil isa lamang itong halaga ng logarithm.

Ang pangalawang formula ay talagang isang paraphrased na kahulugan. Iyan ang tawag dito: ang pangunahing logarithmic identity.

Sa katunayan, ano ang mangyayari kung ang numero b itaas sa ganoong kapangyarihan na ang bilang b sa kapangyarihang ito ay nagbibigay ng numero a? Tama iyon: makukuha mo ang parehong numero a. Basahin muli ang talatang ito nang mabuti - maraming tao ang natigil dito.

Tulad ng mga formula para sa paglipat sa isang bagong base, ang pangunahing logarithmic identity ay minsan ang tanging posibleng solusyon.

Gawain. Hanapin ang kahulugan ng expression:

[Caption para sa larawan]

Tandaan na ang log 25 64 = log 5 8 - kinuha lamang ang parisukat mula sa base at argumento ng logarithm. Isinasaalang-alang ang mga patakaran para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, nakukuha namin:

[Caption para sa larawan]

Kung sinuman ang hindi nakakaalam, ito ay isang tunay na gawain mula sa Unified State Exam :)

Logarithmic unit at logarithmic zero

Sa konklusyon, magbibigay ako ng dalawang pagkakakilanlan na halos hindi matatawag na mga katangian - sa halip, ang mga ito ay mga kahihinatnan ng kahulugan ng logarithm. Patuloy silang lumilitaw sa mga problema at, nakakagulat, lumikha ng mga problema kahit para sa "advanced" na mga mag-aaral.

1. log a a Ang = 1 ay isang logarithmic unit. Tandaan minsan at para sa lahat: logarithm sa anumang base a mula sa baseng ito ay katumbas ng isa.
2. log a 1 = 0 ay logarithmic zero. Base a maaaring maging anuman, ngunit kung ang argumento ay naglalaman ng isa, ang logarithm ay katumbas ng zero! kasi a Ang 0 = 1 ay isang direktang bunga ng kahulugan.

Iyon ang lahat ng mga pag-aari. Siguraduhing magsanay sa pagsasabuhay ng mga ito! I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito, at lutasin ang mga problema.