Lokal at integral theorems ng Laplace. Kinakalkula ang Laplace function sa Microsoft Excel

2.1. Laplace function (probability integral) ay may anyo:

Ang graph ng Laplace function ay ipinapakita sa Fig. 5.

Function F(X) naka-tabulate (tingnan ang Talahanayan 1 ng mga apendise). Upang magamit ang talahanayang ito kailangan mong malaman mga katangian ng Laplace function:

1) Function Ф( X) kakaiba: F(-X)= -F(X).

2) Pag-andar F(X) monotonically pagtaas.

3) F(0)=0.

4) F(+¥ )=0,5; F(-¥ )=-0.5. Sa pagsasagawa, maaari nating ipagpalagay na para sa x³5 ang function F(X)=0.5; para sa x £ -5 function F(X)=-0,5.

2.2. Mayroong iba pang mga anyo ng Laplace function:

At

Sa kaibahan sa mga form na ito, ang function F(X) ay tinatawag na standard o normalized Laplace function. Ito ay konektado sa iba pang mga anyo ng mga relasyon:

HALIMBAWA 2. Patuloy na random variable X ay may normal na batas sa pamamahagi na may mga parameter: m=3, s=4. Hanapin ang posibilidad na bilang resulta ng pagsubok ang random variable X: a) kukunin ang halaga na nasa pagitan (2; 6); b) kukuha ng halagang mas mababa sa 2; c) kukuha ng halagang higit sa 10; d) lumihis mula sa inaasahan sa matematika sa halagang hindi hihigit sa 2. Ilarawan ang solusyon sa problema sa grapikong paraan.

Solusyon. a) Ang posibilidad na ang isang normal na random variable X nasa loob ng tinukoy na agwat ( a,b), Saan a=2 at b=6, katumbas ng:

Mga halaga ng function ng Laplace F(x) tinutukoy ayon sa talahanayan na ibinigay sa apendiks, na isinasaalang-alang iyon F(–X)= –F(X).

b) Ang posibilidad na ang isang normal na random variable X kukuha ng halagang mas mababa sa 2, katumbas ng:

c) Ang posibilidad na ang isang normal na random variable X kukuha ng halagang higit sa 10, katumbas ng:

d) Ang posibilidad na ang isang normal na random variable X d=2, katumbas ng:

Mula sa isang geometric na punto ng view, ang mga kinakalkula na probabilities ay ayon sa bilang na katumbas ng mga shaded na lugar sa ilalim ng normal na curve (tingnan ang Fig. 6).

1 5

kanin. 6. Normal na kurba para sa isang random na variable X~N(3;4)
HALIMBAWA 3. Ang diameter ng baras ay sinusukat nang walang sistematikong (parehong tanda) na mga error. Ang mga random na error sa pagsukat ay napapailalim sa normal na distribusyon na may standard deviation na 10 mm. Hanapin ang posibilidad na ang pagsukat ay gagawin sa isang error na hindi hihigit sa 15 mm sa ganap na halaga.

Solusyon. Ang mathematical na inaasahan ng mga random na error ay zero m X lilihis mula sa inaasahan ng matematika sa halagang mas mababa sa d=15, katumbas ng:

HALIMBAWA 4. Ang makina ay gumagawa ng mga bola. Ang bola ay itinuturing na wasto kung ang paglihis X diameter ng bola mula sa laki ng disenyo sa ganap na halaga ay mas mababa sa 0.7 mm. Ipagpalagay na ang random variable X ibinahagi nang normal na may karaniwang paglihis na 0.4 mm, hanapin ang average na bilang ng mga angkop na bola sa 100 na ginawa.

Solusyon. Random na variable X- paglihis ng diameter ng bola mula sa laki ng disenyo. Ang mathematical na inaasahan ng deviation ay zero, i.e. M(X)=m=0. Pagkatapos ay ang posibilidad na ang isang normal na random variable X lilihis mula sa inaasahan ng matematika sa halagang mas mababa sa d=0.7, katumbas ng:

Kasunod nito na humigit-kumulang 92 na bola sa 100 ang magiging angkop.

HALIMBAWA 5. Patunayan ang panuntunan "3" s».

Solusyon. Ang posibilidad na ang isang normal na random variable X lilihis mula sa inaasahan ng matematika sa halagang mas mababa sa d= 3s, ay katumbas ng:

HALIMBAWA 6. Random na variable X karaniwang ipinamamahagi na may inaasahan sa matematika m=10. Hit Probability X sa pagitan (10, 20) ay katumbas ng 0.3. Ano ang posibilidad na matamaan X sa pagitan (0, 10)?

Solusyon. Ang isang normal na kurba ay simetriko tungkol sa isang tuwid na linya X=m=10, samakatuwid ang mga lugar na nakatali sa itaas ng normal na kurba at sa ibaba ng mga pagitan (0, 10) at (10, 20) ay katumbas ng bawat isa. Dahil ang mga lugar ay katumbas ng numero sa mga probabilidad ng pagtama X sa naaangkop na pagitan, kung gayon.

Formula ng Bayes

Ang mga kaganapan B 1, B 2,…, B n ay hindi magkatugma at bumubuo ng isang kumpletong pangkat, ibig sabihin. P(B 1)+ P(B 2)+…+ P(B n)=1. At hayaang mangyari lamang ang kaganapan A kapag lumitaw ang isa sa mga kaganapan B 1,B 2,…,B n. Pagkatapos ang posibilidad ng kaganapan A ay matatagpuan gamit ang kabuuang probabilidad na formula.

Hayaang nangyari na ang kaganapan A. Kung gayon ang mga probabilidad ng mga hypotheses B 1, B 2,…, B n ay maaaring ma-overestimated gamit ang formula ng Bayes:

Formula ni Bernoulli

Hayaang magsagawa ng n independiyenteng mga pagsubok, sa bawat isa sa mga pangyayaring A ay maaaring mangyari o hindi. Ang posibilidad ng paglitaw (hindi naganap) ng kaganapan A ay pareho at katumbas ng p (q=1-p).

Ang posibilidad na sa n independiyenteng mga pagsubok na kaganapan A ay magaganap nang eksaktong isang beses (depende sa kung anong pagkakasunud-sunod) ay matatagpuan ng formula ni Bernoulli:

Ang posibilidad na ang isang kaganapan ay magaganap sa n independiyenteng mga pagsubok ay:

A). Mas kaunti sa P n (0)+P n (1)+…+P n (k-1).

b). Higit sa isang beses P n (k+1)+P n (k+2)+…+P n (n).

V). kahit minsan P n (k)+P n (k+1)+…+P n (n).

G). hindi hihigit sa k beses P n (0)+P n (1)+…+P n (k).

Lokal at integral theorems ng Laplace.

Ginagamit namin ang mga theorems na ito sa kaso kapag ang n ay sapat na malaki.

Lokal na Laplace theorem

Ang posibilidad na ang isang kaganapan ay magaganap nang eksaktong `k' na beses sa n independiyenteng pagsubok ay humigit-kumulang katumbas ng:

Ang talahanayan ng mga function para sa mga positibong halaga (x) ay ibinibigay sa Gmurman problem book sa Appendix 1, pp. 324-325.

Dahil ang () ay pantay, ginagamit namin ang parehong talahanayan para sa mga negatibong halaga (x).

integral theorem ni Laplace.

Ang posibilidad na ang isang kaganapan ay magaganap nang hindi bababa sa `k' na beses sa n independiyenteng mga pagsubok ay humigit-kumulang katumbas ng:

Laplace function

Ang talahanayan ng mga function para sa mga positibong halaga ay ibinibigay sa Gmurman problem book sa Appendix 2, pp. 326-327. Para sa mga halaga na higit sa 5 itinakda namin ang Ф(х)=0.5.

Dahil ang function ng Laplace ay kakaiba Ф(-х)=-Ф(х), kung gayon para sa mga negatibong halaga (x) ginagamit namin ang parehong talahanayan, kinukuha lamang namin ang mga halaga ng function na may minus sign.

Batas ng probability distribution ng isang discrete random variable

Binomial distribution law.

discrete- isang random na variable, ang mga posibleng halaga kung saan ay mga indibidwal na nakahiwalay na numero, na kinukuha ng variable na ito na may ilang mga probabilidad. Sa madaling salita, ang mga posibleng halaga ng isang discrete random variable ay maaaring bilangin.

Ang bilang ng mga posibleng halaga ng isang discrete random variable ay maaaring may hangganan o walang katapusan.

Ang mga discrete random variable ay tinutukoy ng malalaking titik X, at ang kanilang mga posibleng halaga ay tinutukoy ng maliliit na titik x1, x2, x3...

Halimbawa.

Ang X ay ang bilang ng mga puntos na pinagsama sa dice; Ang X ay kumukuha ng anim na posibleng value: x1=1, x2=1, x3=3, x4=4, x5=5, x6=6 na may probabilities p1=1/6, p2=1/6, p3=1/6 .. p6 =1/6.

Batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable pangalanan ang isang listahan ng mga posibleng halaga nito at ang kanilang mga kaukulang probabilidad.

Ang batas sa pamamahagi ay maaaring ibigay:

1. sa anyo ng isang talahanayan.

2. Analytically - sa anyo ng isang formula.

3. grapiko. Sa kasong ito, sa rectangular XOP coordinate system, ang mga puntos na M1(x1,р1), М2(x2,р2), ... Мn(хn,рn) ay itinayo. Ang mga puntong ito ay konektado sa pamamagitan ng mga tuwid na segment. Ang resultang figure ay tinatawag polygon ng pamamahagi.

Upang isulat ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable (x), kinakailangan na ilista ang lahat ng posibleng mga halaga nito at hanapin ang kaukulang mga probabilidad.

Kung ang mga katumbas na probabilidad ay matatagpuan gamit ang Bernoulli formula, kung gayon ang naturang batas sa pamamahagi ay tinatawag na binomial.

Halimbawa Blg. 168, 167, 171, 123, 173, 174, 175.

Mga numerong halaga ng mga discrete random variable.

Pag-asa, pagkakaiba at karaniwang paglihis.

Ang katangian ng average na halaga ng isang discrete random variable ay ang mathematical expectation.

Pag-asa sa matematika Ang isang discrete random variable ay ang kabuuan ng mga produkto ng lahat ng posibleng mga halaga nito at ang kanilang mga probabilidad. Yung. kung ang batas sa pamamahagi ay ibinigay, pagkatapos ay ang matematikal na inaasahan

Kung ang bilang ng mga posibleng halaga ng isang discrete random variable ay walang katapusan, kung gayon

Bukod dito, ang serye sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay ganap na nagtatagpo, at ang kabuuan ng lahat ng probabilidad pi ay katumbas ng isa.

Mga katangian ng inaasahan sa matematika.

1. M(C)=C, C=constant.

2. M(Cx)=CM(x)

3. M(x1+x2+…+xn)=M(x1)+M(x2)+…+M(xn)

4. M(x1*x2*…*xn)=M(x1)*M(x2)*…*M(xn).

5. Para sa isang binomial distribution law, ang mathematical expectation ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Ang mga katangian ng pagpapakalat ng mga posibleng halaga ng isang random na variable sa paligid ng inaasahan ng matematika ay pagpapakalat at karaniwang paglihis.

Pagkakaiba Ang discrete random variable (x) ay tinatawag na mathematical expectation ng squared deviation. D(x)=M(x-M(x)) 2.

Maginhawang kalkulahin ang dispersion gamit ang formula: D(x) = M(x 2) - (M(x)) 2.

Mga katangian ng pagpapakalat.

1. D(S)=0, C=constant.

2. D(Cx)=C 2 D(x)

3. D(x1+x2+…+xn)=D(x1)+D(x2)+…+D(xn)

4. Pagpapakalat ng binomial distribution law

Standard deviation ang isang random na variable ay tinatawag na square root ng variance.

mga halimbawa. 191, 193, 194, 209, d/z.

Cumulative distribution function (CDF) ng mga probabilities ng tuluy-tuloy na random variable (RCV). tuloy-tuloy- isang dami na maaaring kumuha ng lahat ng mga halaga mula sa ilang may hangganan o walang katapusang pagitan. Mayroong ilang mga posibleng halaga para sa NSV at hindi ito maaaring muling bilangin.

Halimbawa.

Ang distansya na tinatahak ng projectile kapag pinaputok ay NSV.

Ang IFR ay tinatawag na function na F(x), na tumutukoy para sa bawat halaga x ang posibilidad na kunin ng NSV X ang halagang X<х, т.е. F(x)=Р(X

Kadalasan, imbes na IFR, sinasabi nilang FR.

Sa geometriko, ang pagkakapantay-pantay F(x)=P(X

Mga Katangian ng IF.

1. Ang IF value ay kabilang sa interval, i.e. F(x).

2. IF ay isang hindi bumababa na function, i.e. x2>x1.

Corollary 1. Ang posibilidad na ang NSV X ay kukuha ng value na nasa pagitan (a; b) ay katumbas ng pagtaas ng integral function sa interval na ito, i.e.

P(a

Corollary 2. Ang posibilidad na ang NSV X ay kukuha ng isang partikular na halaga, halimbawa, x1=0, ay katumbas ng 0, i.e. P(x=x1)=0.

3. Kung ang lahat ng posibleng halaga ng NSV X ay kabilang sa (a;c), kung gayon ang F(x)=0 sa x<а, и F(x)=1 при х>V.

Corollary 3. Ang mga sumusunod na ugnayan sa limitasyon ay wasto.

Differential distribution function (DDF) ng mga probabilities ng tuluy-tuloy na random variable (RNV) (probability density).

DF f(x) mga pamamahagi ng posibilidad ng NSV ay tinatawag na unang derivative ng IFR:

Kadalasan, sa halip na PDR, sinasabi nila ang probability density (PD).

Mula sa kahulugan ay sumusunod na, alam ang DF F(x), mahahanap natin ang DF f(x). Ngunit ang kabaligtaran na pagbabagong-anyo ay ginaganap din: alam ang DF f(x), mahahanap mo ang DF F(x).

Ang posibilidad na ang NSV X ay kukuha ng isang halaga na kabilang sa (a;b) ay matatagpuan:

A). Kung ang IF ay ibinigay, Corollary 1.

B). Kung tinukoy ang DF

Mga Katangian ng DF.

1. DF - hindi negatibo, ibig sabihin. .

2. ang hindi wastong integral ng DF sa loob ng () ay katumbas ng 1, i.e. .

Corollary 1. Kung ang lahat ng posibleng halaga ng NSV X ay kabilang sa (a;c), kung gayon.

Mga halimbawa. No. 263, 265, 266, 268, 1111, 272, d/z.

Mga numerical na katangian ng NSV.

1. Ang pag-asa sa matematika (ME) ng NSV X, ang mga posibleng halaga na nabibilang sa buong axis ng OX, ay tinutukoy ng formula:

Kung ang lahat ng posibleng halaga ng NSV X ay kabilang sa (a;c), ang MO ay tinutukoy ng formula:

Ang lahat ng katangian ng MO na ipinahiwatig para sa mga discrete na dami ay pinapanatili din para sa tuluy-tuloy na dami.

2. Ang pagpapakalat ng NSV X, ang mga posibleng halaga na nabibilang sa buong axis ng OX, ay tinutukoy ng formula:

Kung ang lahat ng posibleng mga halaga ng NSV X ay kabilang sa (a;c), kung gayon ang pagpapakalat ay tinutukoy ng formula:

Ang lahat ng katangian ng dispersion na tinukoy para sa mga discrete na dami ay pinapanatili din para sa tuluy-tuloy na dami.

3. Ang karaniwang paglihis ng NSV X ay tinutukoy sa parehong paraan tulad ng para sa mga discrete na dami:

Mga halimbawa. No. 276, 279, X, d/z.

Operational calculus (OC).

OR ay isang paraan na nagbibigay-daan sa iyo upang bawasan ang mga operasyon ng pagkita ng kaibhan at pagsasama ng mga function sa mas simpleng mga aksyon: multiplikasyon at paghahati sa pamamagitan ng argumento ng tinatawag na mga imahe ng mga function na ito.

Ang paggamit ng OI ay nagpapadali sa paglutas ng maraming problema. Sa partikular, ang mga problema sa pagsasama-sama ng mga LDE na may pare-parehong mga coefficient at mga sistema ng naturang mga equation, na binabawasan ang mga ito sa mga linear na algebraic.

Mga orihinal at larawan. Nagbabago si Laplace.

f(t)-orihinal; F(p)-larawan.

Tinatawag ang transition f(t)F(p). Pagbabago ng Laplace.

Ang pagbabago ng Laplace ng isang function na f(t) ay tinatawag na F(p), depende sa isang kumplikadong variable at tinukoy ng formula:

Ang integral na ito ay tinatawag na Laplace integral. Para sa convergence ng hindi wastong integral na ito, sapat na ipagpalagay na sa pagitan ng f(t) ay putol-putol na tuluy-tuloy at para sa ilang mga constants M>0 at natutugunan ang hindi pagkakapantay-pantay.

Tinatawag ang isang function na f(t) na mayroong ganitong mga katangian orihinal, at ang paglipat mula sa orihinal patungo sa imahe nito ay tinatawag Pagbabago ng Laplace.

Mga katangian ng pagbabagong-anyo ng Laplace.

Ang direktang pagtukoy ng mga imahe gamit ang formula (2) ay karaniwang mahirap at maaaring makabuluhang mapadali sa pamamagitan ng paggamit ng mga katangian ng pagbabagong-anyo ng Laplace.

Hayaang ang F(p) at G(p) ay mga larawan ng mga orihinal na f(t) at g(t), ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos ay ang mga sumusunod na katangian-relasyon ay hawak:

1. С*f(t)С*F(p), С=const - homogeneity property.

2. f(t)+g(t)F(p)+G(p) - katangian ng additivity.

3. f(t)F(p-) - displacement theorem.

paglipat ng nth derivative ng orihinal sa isang imahe (theorem of differentiation ng orihinal).

Ang Laplace function ay isang non-elementary function at kadalasang ginagamit pareho sa teorya ng differential equation at probability theory, at sa statistics. Ang Laplace function ay nangangailangan ng isang tiyak na hanay ng kaalaman at pagsasanay, dahil pinapayagan ka nitong malutas ang iba't ibang mga problema sa larangan ng inilapat at teoretikal na mga aplikasyon.

Ang Laplace function ay kadalasang ginagamit upang malutas ang mga differential equation at kadalasang tinatawag na probability integral. Tingnan natin kung paano magagamit ang function na ito sa Excel at kung paano ito gumagana.

Ang probability integral o Laplace function sa Excel ay tumutugma sa operator na "NORMSDIST", na mayroong syntax: "=NORMSDIST(z). Sa mga mas bagong bersyon ng programa, ang operator ay mayroon ding pangalang "NORM.ST.DIST." at bahagyang binagong syntax na “=NORM.ST.DIST(z; integral).

Ang argument na "Z" ay responsable para sa numeric na halaga ng pamamahagi. Ang argumentong "Integral" ay nagbabalik ng dalawang halaga - "1" - ang integral distribution function, "0" - ang weight distribution function.

Inayos namin ang teorya. Magpatuloy tayo sa pagsasanay. Tingnan natin ang paggamit ng Laplace function sa Excel.

1. Sumulat ng isang halaga sa isang cell at magpasok ng isang function sa susunod na isa.

2. Manu-manong isulat natin ang function na “=NORM.ST.DIST(B4;1).

3. O ginagamit namin ang function insertion wizard - pumunta sa kategoryang "Static" at ipahiwatig ang "Buong alpabetikong listahan.

4. Sa lalabas na window ng function arguments, ipahiwatig ang mga inisyal na halaga. Ang aming orihinal na cell ay magiging responsable para sa variable na "Z", at ipasok ang "1" sa "Integral". Ibabalik ng aming function ang cumulative distribution function.

5. Kumuha kami ng isang handa na solusyon ng karaniwang normal na integral distribution para sa function na "NORM.ST.DIST". Ngunit hindi lang iyon, ang layunin namin ay hanapin ang Laplace function o probability integral, kaya magsagawa pa tayo ng ilang hakbang.

6. Ang Laplace function ay nagpapahiwatig na ang "0.5" ay dapat ibawas sa halaga ng resultang function. Idinaragdag namin ang kinakailangang operasyon sa function. Pinindot namin ang "Enter" at makuha ang pangwakas na solusyon. Ang nais na halaga ay tama at mabilis na natagpuan.

Madaling kinakalkula ng Excel ang function na ito para sa anumang halaga ng cell, hanay ng mga cell, o mga sanggunian ng cell. Ang function na "NORM.ST.DIST" ay isang karaniwang operator para sa paghahanap para sa integral ng probabilidad o, kung tawagin din ito, ang function ng Laplace.

Lokal at integral theorems ng Laplace

Ang artikulong ito ay isang likas na pagpapatuloy ng aralin tungkol sa mga independiyenteng pagsusulit, kung saan tayo nagkakilala Formula ni Bernoulli at nagtrabaho sa mga tipikal na halimbawa sa paksa. Ang mga lokal at integral na theorems ng Laplace (Moivre-Laplace) ay malulutas ang isang katulad na problema sa pagkakaiba na ang mga ito ay naaangkop sa isang sapat na malaking bilang ng mga independiyenteng pagsubok. Hindi na kailangang pagtakpan ang mga salitang "lokal", "integral", "theorems" - ang materyal ay pinagkadalubhasaan ng parehong kadalian kung saan tinapik ni Laplace ang kulot na ulo ni Napoleon. Samakatuwid, nang walang anumang mga kumplikado at paunang komento, agad nating isaalang-alang ang isang halimbawa ng pagpapakita:

Ang barya ay inihagis ng 400 beses. Hanapin ang posibilidad na makakuha ng mga ulo ng 200 beses.

Ayon sa mga tampok na katangian, ang isa ay dapat mag-aplay dito Formula ni Bernoulli . Tandaan natin ang kahulugan ng mga titik na ito:

– ang posibilidad na sa mga independiyenteng pagsubok ang isang random na kaganapan ay magaganap nang eksaktong isang beses;
– binomial coefficient;
– posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan sa bawat pagsubok;

Kaugnay ng aming gawain:
- kabuuang bilang ng mga pagsubok;
– ang bilang ng mga throws kung saan ang mga ulo ay dapat mahulog;

Kaya, ang posibilidad na bilang resulta ng 400 coin tosses, ang mga ulo ay lilitaw nang eksaktong 200 beses: ...Tumigil, ano ang susunod na gagawin? Nabigo ang microcalculator (kahit sa akin) na makayanan ang 400th degree at sumuko sa mga factorial. Ngunit hindi ko nais na kalkulahin ang isang bagay sa pamamagitan ng isang produkto =) Gamitin natin karaniwang pag-andar ng Excel, na nagawang iproseso ang halimaw: .

Nais kong iguhit ang iyong pansin sa kung ano ang natanggap eksakto kahulugan at ang gayong solusyon ay tila perpekto. Sa unang tingin. Narito ang ilang nakakahimok na kontraargumento:

– una, ang software ay maaaring wala sa kamay;
– at pangalawa, ang solusyon ay magmumukhang hindi pamantayan (na may malaking posibilidad na kailangan mong baguhin ang iyong isip);

Samakatuwid, mahal na mga mambabasa, sa malapit na hinaharap magkakaroon tayo ng:

Lokal na Laplace theorem

Kung pare-pareho ang posibilidad ng isang random na kaganapan na nagaganap sa bawat pagsubok, kung gayon ang posibilidad na mangyari ang kaganapan nang eksaktong isang beses sa bawat pagsubok ay humigit-kumulang katumbas ng:
, Saan .

Bukod dito, ang mas malaki , mas mabuti ang kinakalkula na posibilidad ay tinatantya ang eksaktong halaga na nakuha (hindi bababa sa hypothetically) ayon sa formula ni Bernoulli. Ang inirerekomendang pinakamababang bilang ng mga pagsubok ay humigit-kumulang 50-100, kung hindi man ang resulta ay maaaring malayo sa katotohanan. Bilang karagdagan, ang lokal na teorama ng Laplace ay mas gumagana nang mas malapit ang posibilidad na 0.5, at kabaliktaran - nagbibigay ito ng isang makabuluhang error para sa mga halaga na malapit sa zero o isa. Para sa kadahilanang ito, isa pang pamantayan para sa epektibong paggamit ng formula ay ang hindi pagkakapantay-pantay () .

Kaya, halimbawa, kung , kung gayon ang aplikasyon ng teorem ng Laplace para sa 50 mga pagsubok ay makatwiran. Ngunit kung at , pagkatapos ay isang approximation din (sa eksaktong halaga) magiging masama.

Tungkol sa bakit at tungkol sa isang espesyal na function pag-uusapan natin sa klase normal na pamamahagi ng posibilidad, ngunit sa ngayon kailangan namin ang pormal na bahagi ng pag-compute ng isyu. Sa partikular, ang isang mahalagang katotohanan ay pagkakapantay-pantay ang function na ito: .

Ipormal natin ang kaugnayan sa ating halimbawa:

Problema 1

Ang barya ay inihagis ng 400 beses. Hanapin ang posibilidad na eksaktong mapunta ang mga ulo:

a) 200 beses;
b) 225 beses.

Kung saan magsisimula solusyon? Una, isulat natin ang mga kilalang dami upang makita natin ang mga ito:

- kabuuang bilang ng mga independiyenteng pagsubok;
– ang posibilidad na makakuha ng mga ulo sa bawat paghagis;
– posibilidad ng mga landing head.

a) Hanapin natin ang posibilidad na sa isang serye ng 400 tosses ulo ay lalabas nang eksaktong isang beses. Dahil sa malaking bilang ng mga pagsubok, ginagamit namin ang lokal na theorem ng Laplace: , Saan .

Sa unang hakbang, kinakalkula namin ang kinakailangang halaga ng argumento:

Susunod na mahanap namin ang katumbas na halaga ng function: . Magagawa ito sa maraming paraan. Una sa lahat, siyempre, ang mga direktang kalkulasyon ay nagmumungkahi sa kanilang sarili:

Karaniwang ginagawa ang pag-round sa 4 na decimal na lugar.

Ang kawalan ng direktang pagkalkula ay hindi lahat ng microcalculator ay maaaring digest ang exponent bilang karagdagan, ang mga kalkulasyon ay hindi partikular na kaaya-aya at tumatagal ng oras. Bakit labis na nagdurusa? Gamitin terver calculator (punto 4) at makakuha ng mga halaga kaagad!

Bilang karagdagan, mayroong talahanayan ng halaga ng function, na nasa halos anumang libro sa teorya ng posibilidad, sa partikular, sa aklat-aralin V.E. Gmurman. Kung hindi mo pa ito nai-download, i-download ito - maraming kapaki-pakinabang na bagay doon ;-) At siguraduhing matutunan kung paano gamitin ang talahanayan (ngayon na!)– Ang angkop na kagamitan sa pag-compute ay maaaring hindi palaging nasa kamay!

Sa huling yugto, inilalapat namin ang formula :
– ang posibilidad na sa 400 coin tosses, eksaktong 200 beses na mapunta ang mga ulo.

Tulad ng nakikita mo, ang resulta na nakuha ay napakalapit sa eksaktong halaga na kinakalkula ng Formula ni Bernoulli.

b) Hanapin ang posibilidad na sa isang serye ng 400 mga pagsubok ay eksaktong isang beses na lilitaw ang mga ulo. Ginagamit namin ang lokal na teorama ng Laplace. Isa, dalawa, tatlo - at tapos ka na:

– ang nais na posibilidad.

Sagot:

Ang susunod na halimbawa, tulad ng nahulaan ng marami, ay nakatuon sa panganganak - at ito ay para sa iyo na magpasya para sa iyong sarili :)

Problema 2

Ang posibilidad na magkaroon ng isang lalaki ay 0.52. Hanapin ang posibilidad na sa 100 bagong panganak ay magkakaroon ng eksaktong: a) 40 lalaki, b) 50 lalaki, c) 30 babae.

Bilugan ang mga resulta sa 4 na decimal na lugar.

...The phrase "independent tests" sounds interesting here =) Oo nga pala, totoo istatistikal na posibilidad Ang rate ng kapanganakan para sa isang batang lalaki sa maraming rehiyon sa mundo ay mula 0.51 hanggang 0.52.

Isang tinatayang halimbawa ng isang gawain sa pagtatapos ng aralin.

Napansin ng lahat na ang mga numero ay naging medyo maliit, at hindi ito dapat nakaliligaw - pagkatapos ng lahat, pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga indibidwal na posibilidad, lokal mga halaga (kaya ang pangalan ng theorem). At mayroong maraming gayong mga halaga, at, sa makasagisag na pagsasalita, ang posibilidad ay "dapat na sapat para sa lahat." Totoo, maraming mga kaganapan ang mangyayari halos imposible.

Hayaan akong ipaliwanag ang nasa itaas gamit ang halimbawa ng mga barya: sa isang serye ng apat na raang pagsubok, ang mga ulo ay maaaring theoretically mahulog mula 0 hanggang 400 beses, at ang mga kaganapang ito ay nabuo buong grupo:

Gayunpaman, ang karamihan sa mga halagang ito ay maliit lamang, halimbawa, ang posibilidad na ang mga ulo ay lilitaw nang 250 beses ay isa na sa sampung milyon: . Tungkol sa mga halaga tulad ng Tactfully manahimik tayo =)

Sa kabilang banda, hindi dapat maliitin ang katamtamang mga resulta: kung ito ay tungkol lamang sa , kung gayon ang posibilidad ng mga landing head, sabihin nating, mula 220 hanggang 250 beses, ay magiging lubhang kapansin-pansin.

Ngayon isipin natin: kung paano kalkulahin ang posibilidad na ito? Huwag magbilang ng ang teorama ng pagdaragdag ng mga probabilidad ng mga hindi tugmang kaganapan halaga:

Ang mga halagang ito ay mas simple pagsamahin. At ang pagsasama-sama ng isang bagay, tulad ng alam mo, ay tinatawag pagsasama:

integral theorem ni Laplace

Kung ang posibilidad ng isang random na kaganapan na nagaganap sa bawat pagsubok ay pare-pareho, kung gayon ang posibilidad na ang kaganapan ay magaganap sa mga pagsubok walang kukulangin at wala nang ulit (mula sa mga oras kasama), ay tinatayang katumbas ng:

Sa kasong ito, ang bilang ng mga pagsubok, siyempre, ay dapat ding sapat na malaki at ang posibilidad ay hindi dapat masyadong maliit/mataas. (tinatayang), kung hindi, ang pagtatantya ay magiging hindi mahalaga o masama.

Tinatawag ang function Pag-andar ng Laplace, at ang mga halaga nito ay muling buod sa isang karaniwang talahanayan ( hanapin at matutong gumawa nito!!). Ang isang microcalculator ay hindi makakatulong dito, dahil ang integral ay hindi pinagsama. Ngunit ang Excel ay may kaukulang pag-andar - gamitin punto 5 layout ng disenyo.

Sa pagsasagawa, ang pinakakaraniwang mga halaga ay:
- Kopyahin ito sa iyong kuwaderno.
Simula sa , maaari nating ipagpalagay na , o, upang isulat ito nang mas mahigpit:

Bukod dito, ang Laplace function kakaiba: , at ang ari-arian na ito ay aktibong pinagsamantalahan sa mga gawaing pagod na natin:

Suliranin 3

Ang posibilidad na matamaan ng tagabaril ang target ay 0.7. Hanapin ang posibilidad na may 100 shot ang target ay matatamaan mula 65 hanggang 80 beses.

Pinili ko ang pinaka-makatotohanang halimbawa, kung hindi, nakakita ako ng ilang mga gawain dito kung saan nagpaputok ang tagabaril ng libu-libong mga shot =)

Solusyon: sa problemang ito ang pinag-uusapan natin paulit-ulit na mga independiyenteng pagsusulit, at ang kanilang bilang ay medyo malaki. Ayon sa kundisyon, kailangan mong hanapin ang posibilidad na matamaan ang target ng hindi bababa sa 65, ngunit hindi hihigit sa 80 beses, na nangangahulugang kailangan mong gamitin ang integral theorem ng Laplace: , kung saan

Para sa kaginhawahan, muling isulat natin ang orihinal na data sa isang column:
- kabuuang shot;
– pinakamababang bilang ng mga hit;
– maximum na bilang ng mga hit;
– posibilidad na matamaan ang target sa bawat shot;
- ang posibilidad ng isang miss sa bawat shot.

Samakatuwid, ang teorama ni Laplace ay magbibigay ng isang mahusay na pagtatantya.

Kalkulahin natin ang mga halaga ng mga argumento:

Nais kong iguhit ang iyong pansin sa katotohanan na ang gawain ay hindi kailangang ganap na makuha mula sa mga ugat nito. (dahil ang mga may-akda ng problema ay gustong "i-adjust" ang mga numero)– nang walang anino ng pagdududa, kunin ang ugat at bilugan ang resulta; Nakasanayan ko nang mag-iwan ng 4 na decimal na lugar. Ngunit ang mga nagresultang halaga ay karaniwang bilugan sa 2 decimal na lugar - nagmula ang tradisyong ito mga talahanayan ng halaga ng function, kung saan eksaktong ipinakita ang mga argumento sa form na ito.

Ginagamit namin ang talahanayan sa itaas o disenyo ng layout para sa terver (punto 5).
Bilang isang nakasulat na komento, ipinapayo ko sa iyo na ilagay ang sumusunod na parirala: mahahanap natin ang mga halaga ng pag-andar gamit ang kaukulang talahanayan:

– ang posibilidad na sa 100 shot ang target ay matatamaan ng 65 hanggang 80 beses.

Tiyaking samantalahin ang kakaibang bilang ng function! Kung sakali, isusulat ko ito nang detalyado:

Ang punto ay iyon talahanayan ng halaga ng function naglalaman lamang ng mga positibong "X", at nagtatrabaho kami (hindi bababa sa ayon sa "alamat") may table!

Sagot:

Ang resulta ay madalas na bilugan sa 4 na decimal na lugar (muli ayon sa format ng talahanayan).

Upang malutas ito sa iyong sarili:

Suliranin 4

Mayroong 2500 lamp sa gusali, ang posibilidad na i-on ang bawat isa sa kanila sa gabi ay 0.5. Hanapin ang posibilidad na hindi bababa sa 1250 at hindi hihigit sa 1275 lamp ang bubuksan sa gabi.

Isang tinatayang sample ng huling disenyo sa pagtatapos ng aralin.

Dapat pansinin na ang mga gawain na isinasaalang-alang ay madalas na nangyayari sa isang "impersonal" na anyo, halimbawa:

Ang ilang eksperimento ay isinasagawa kung saan maaaring mangyari ang isang random na kaganapan na may posibilidad na 0.5. Ang eksperimento ay paulit-ulit sa ilalim ng hindi nagbabagong mga kondisyon nang 2500 beses. Tukuyin ang posibilidad na sa 2500 na mga eksperimento ang kaganapan ay magaganap mula 1250 hanggang 1275 beses

At ang mga katulad na formulations ay sa pamamagitan ng bubong. Dahil sa pagiging cliché ng mga gawain, madalas nilang sinusubukang tabunan ang kundisyon - ito ang "tanging pagkakataon" upang kahit papaano ay pag-iba-ibahin at gawing kumplikado ang solusyon:

Suliranin 5

Mayroong 1000 mga mag-aaral na nag-aaral sa institute. Ang silid-kainan ay may 105 na upuan. Ang bawat mag-aaral ay pumupunta sa cafeteria sa panahon ng malaking pahinga na may posibilidad na 0.1. Ano ang posibilidad na sa isang karaniwang araw ng paaralan:

a) ang silid-kainan ay hindi hihigit sa dalawang-katlo na puno;
b) walang sapat na upuan para sa lahat.

Nais kong ituon ang iyong pansin sa mahalagang sugnay na "sa isang REGULAR na araw ng paaralan" - tinitiyak nito na ang sitwasyon ay nananatiling medyo hindi nagbabago. Pagkatapos ng mga pista opisyal, mas kaunting mga mag-aaral ang maaaring pumunta sa institute, at ang isang nagugutom na delegasyon ay maaaring bumaba sa "Araw ng Mga Bukas na Pintuan" =) Iyon ay, sa isang "hindi pangkaraniwang" araw ang mga probabilidad ay kapansin-pansing naiiba.

Solusyon: ginagamit namin ang integral theorem ni Laplace, kung saan

Sa gawaing ito:
– kabuuang mga mag-aaral sa institute;
– ang posibilidad na ang isang mag-aaral ay pumunta sa cafeteria sa mahabang pahinga;
– posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan.

a) Kalkulahin natin kung ilang upuan ang bumubuo sa dalawang-katlo ng kabuuang bilang: mga upuan

Hanapin natin ang posibilidad na sa isang normal na araw ng pasukan ay hindi hihigit sa dalawang-katlo ang puno ng cafeteria. Ano ang ibig sabihin nito? Ibig sabihin, sa big break, mula 0 hanggang 70 katao ang darating. Ang katotohanang walang dumarating o kakaunting estudyante lang ang dumarating - may mga kaganapan halos imposible, gayunpaman, para sa layunin ng paglalapat ng integral theorem ni Laplace, ang mga probabilidad na ito ay dapat pa ring isaalang-alang. kaya:

Kalkulahin natin ang kaukulang mga argumento:

Bilang resulta:

– ang posibilidad na sa isang normal na araw ng pasukan ang cafeteria ay hindi hihigit sa dalawang-katlo na puno.

Paalala : kapag ang Laplace function ay itinuturing na katumbas ng .

Ito ay isang crowd pleaser kahit na =)

b) Kaganapan "Walang sapat na upuan para sa lahat" ay mula 106 hanggang 1000 katao ang pupunta sa silid-kainan para sa tanghalian sa panahon ng malaking pahinga (ang pangunahing bagay ay i-compact ito ng maayos =)). Malinaw na ang mataas na pagdalo ay hindi kapani-paniwala, ngunit gayunpaman: .

Kinakalkula namin ang mga argumento:

Kaya, ang posibilidad na walang sapat na upuan para sa lahat ay:

Sagot:

Ngayon, tumutok tayo sa isa mahalagang nuance paraan: kapag nagsasagawa kami ng mga kalkulasyon sa isang segment, kung gayon ang lahat ay "walang ulap" - magpasya ayon sa template na isinasaalang-alang. Gayunpaman, kung ating isasaalang-alang buong pangkat ng mga kaganapan dapat ipakita isang tiyak na katumpakan. Hayaan akong ipaliwanag ang puntong ito gamit ang halimbawa ng problemang tinalakay lang. Sa puntong "maging" nakita namin ang posibilidad na walang sapat na upuan para sa lahat. Susunod, gamit ang parehong scheme, kinakalkula namin:
– ang posibilidad na magkakaroon ng sapat na mga lugar.

Simula ng mga pangyayaring ito kabaligtaran, kung gayon ang kabuuan ng mga probabilidad ay dapat na katumbas ng isa:

Ano ang problema? – parang lohikal ang lahat dito. Ang punto ay ang Laplace function ay tuloy-tuloy, ngunit hindi namin isinasaalang-alang pagitan mula 105 hanggang 106. Dito nawala ang piraso ng 0.0338. kaya lang gamit ang parehong karaniwang formula dapat kalkulahin:

Well, o kahit na mas simple:

Ang tanong ay lumitaw: paano kung UNANG nahanap natin ? Pagkatapos ay magkakaroon ng isa pang bersyon ng solusyon:

Ngunit paano ito mangyayari?! – ang dalawang pamamaraan ay nagbibigay ng magkaibang mga sagot! Ito ay simple: Ang integral theorem ng Laplace ay isang pamamaraan malapit na mga kalkulasyon, at samakatuwid ang parehong mga paraan ay katanggap-tanggap.

Para sa mas tumpak na mga kalkulasyon dapat mong gamitin Formula ni Bernoulli at, halimbawa, ang Excel function BINOMIDST. Bilang resulta aplikasyon nito makuha namin:

At ipinapahayag ko ang aking pasasalamat sa isa sa mga bisita ng site na nakakuha ng pansin sa subtlety na ito - nahulog ito sa aking larangan ng pangitain, dahil ang pag-aaral ng isang kumpletong grupo ng mga kaganapan ay bihirang matatagpuan sa pagsasanay. Ang mga interesado ay maaaring pamilyar sa kanilang sarili

Ang isa sa mga pinakatanyag na non-elementary function, na ginagamit sa matematika, sa teorya ng differential equation, sa statistics at sa probability theory, ay ang Laplace function. Ang paglutas ng mga problema dito ay nangangailangan ng makabuluhang paghahanda. Alamin natin kung paano mo makalkula ang indicator na ito gamit ang mga tool sa Excel.

Ang Laplace function ay may malawak na inilapat at teoretikal na mga aplikasyon. Halimbawa, ito ay madalas na ginagamit upang malutas ang mga equation ng kaugalian. Ang terminong ito ay may isa pang katumbas na pangalan - ang probability integral. Sa ilang mga kaso, ang batayan para sa solusyon ay ang pagbuo ng isang talahanayan ng mga halaga.

NORM.ST.DIST operator

Sa Excel, ang problemang ito ay nalutas gamit ang operator NORM.ST.DIST.. Ang pangalan nito ay isang abbreviation para sa terminong "normal standard distribution". Dahil ang pangunahing gawain nito ay ibalik ang karaniwang normal na pinagsama-samang distribusyon sa napiling cell. Ang operator na ito ay kabilang sa istatistikal na kategorya ng mga karaniwang function ng Excel.

Sa Excel 2007 at mga naunang bersyon ng programa, tinawag ang operator na ito NORMSDIST. Para sa mga dahilan ng pagiging tugma, ito ay pinananatili sa mga modernong bersyon ng mga application. Ngunit gayon pa man, inirerekumenda nila ang paggamit ng isang mas advanced na analogue - NORM.ST.DIST..

Syntax ng operator NORM.ST.DIST. ganito ang hitsura:

NORM.ST.DIST(z;integral)

Legacy na operator NORMSDIST ay nakasulat na ganito:

NORMSDIST(z)

Tulad ng nakikita mo, sa bagong bersyon ng umiiral na argumento "Z" idinagdag ang argumento "Integral". Dapat tandaan na ang bawat argumento ay kinakailangan.

Pangangatwiran "Z" ay nagpapahiwatig ng numerical na halaga kung saan ang distribusyon ay binuo.

Pangangatwiran "Integral" kumakatawan sa isang Boolean na halaga na maaaring magkaroon ng representasyon "TOTOO" ("1") o "SINUNGALING" («0») . Sa unang kaso, ang pinagsama-samang pagpapaandar ng pamamahagi ay ibinalik sa tinukoy na cell, at sa pangalawang kaso, ang pagpapaandar ng pamamahagi ng timbang ay ibinalik.

Solusyon sa problema

Upang maisagawa ang kinakailangang pagkalkula para sa isang variable, gamitin ang sumusunod na formula:

NORM.ST.DIST(z;integral(1))-0.5

Ngayon tingnan natin ang paggamit ng operator gamit ang isang partikular na halimbawa NORM.ST.DIST. upang malutas ang isang tiyak na problema.