Ang probability density ng random variable x ay ibinibigay ng function. Batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable
Tulad ng nalalaman, random variable ay isang variable na dami na maaaring tumagal sa ilang mga halaga depende sa kaso. Ang mga random na variable ay tinutukoy ng malalaking titik ng alpabetong Latin (X, Y, Z), at ang kanilang mga halaga ay tinutukoy ng kaukulang mga maliliit na titik (x, y, z). Ang mga random na variable ay nahahati sa discontinuous (discrete) at tuluy-tuloy.
Discrete random variable ay isang random na variable na kumukuha lamang ng isang finite o infinite (countable) set ng mga values na may ilang mga non-zero probabilities.
Batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable ay isang function na nag-uugnay sa mga halaga ng isang random na variable sa kanilang kaukulang probabilities. Maaaring tukuyin ang batas sa pamamahagi sa isa sa mga sumusunod na paraan.
1 . Ang batas sa pamamahagi ay maaaring ibigay ng talahanayan:
kung saan λ>0, k = 0, 1, 2, … .
V) sa pamamagitan ng paggamit mga function ng pamamahagi F(x) , na tumutukoy para sa bawat halaga x ang posibilidad na ang random variable X ay kukuha ng halagang mas mababa sa x, ibig sabihin. F(x) = P(X< x).
Mga katangian ng function F(x)
3 . Ang batas sa pamamahagi ay maaaring tukuyin nang grapiko – distribution polygon (polygon) (tingnan ang problema 3).
Tandaan na upang malutas ang ilang mga problema ay hindi kinakailangang malaman ang batas sa pamamahagi. Sa ilang mga kaso, sapat na upang malaman ang isa o ilang mga numero na sumasalamin sa pinakamahalagang mga tampok ng batas sa pamamahagi. Ito ay maaaring isang numero na may kahulugan ng "average na halaga" ng isang random na variable, o isang numero na nagpapakita ng average na laki ng deviation ng isang random na variable mula sa average na halaga nito.
Ang mga numero ng ganitong uri ay tinatawag na mga numerical na katangian ng isang random na variable. :
- Mga pangunahing katangian ng numero ng isang discrete random variable
Pag-asa sa matematika (average na halaga) ng isang discrete random variable.
M(X)=Σ x i p i - Para sa binomial distribution M(X)=np, para sa Poisson distribution M(X)=λ
Pagpapakalat discrete random variable D(X)=M2 o. Ang pagkakaiba X–M(X) ay tinatawag na paglihis ng isang random na variable mula sa inaasahan ng matematika nito.
Para sa binomial distribution D(X)=npq, para sa Poisson distribution D(X)=λ - Standard deviation (standard deviation) σ(X)=√D(X).
Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paksang "Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable"
Gawain 1.
1000 lottery ticket ang inisyu: 5 sa kanila ang mananalo ng 500 rubles, 10 ang mananalo ng 100 rubles, 20 ang mananalo ng 50 rubles, 50 ang mananalo ng 10 rubles. Tukuyin ang batas ng probability distribution ng random variable X - mga panalo sa bawat tiket.
Solusyon. Ayon sa mga kondisyon ng problema, ang mga sumusunod na halaga ng random variable X ay posible: 0, 10, 50, 100 at 500.
Ang bilang ng mga tiket na hindi nanalo ay 1000 – (5+10+20+50) = 915, pagkatapos ay P(X=0) = 915/1000 = 0.915.
Sa katulad na paraan, makikita natin ang lahat ng iba pang probabilidad: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X =500) = 5/1000=0.005. Ipakita natin ang nagresultang batas sa anyo ng isang talahanayan:
Hanapin natin ang mathematical expectation ng value X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5
Gawain 3.
Ang aparato ay binubuo ng tatlong independiyenteng mga elemento ng operating.
Solusyon. 1. Ang posibilidad ng pagkabigo ng bawat elemento sa isang eksperimento ay 0.1. Gumuhit ng batas sa pamamahagi para sa bilang ng mga nabigong elemento sa isang eksperimento, bumuo ng polygon ng pamamahagi. Hanapin ang distribution function na F(x) at i-plot ito. Hanapin ang mathematical expectation, variance at standard deviation ng isang discrete random variable.
Ang discrete random variable X = (ang bilang ng mga nabigong elemento sa isang eksperimento) ay may mga sumusunod na posibleng halaga: x 1 =0 (wala sa mga elemento ng device ang nabigo), x 2 =1 (isang elemento ang nabigo), x 3 =2 ( dalawang elemento ang nabigo ) at x 4 =3 (tatlong elemento ang nabigo). Ang mga pagkabigo ng mga elemento ay independiyente sa bawat isa, ang mga posibilidad ng pagkabigo ng bawat elemento ay pantay, samakatuwid ito ay naaangkop
Formula ni Bernoulli
. Isinasaalang-alang na, ayon sa kondisyon, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, tinutukoy namin ang mga probabilidad ng mga halaga:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0.9 3 = 0.729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0.1*0.9 2 = 0.243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0.1 2 *0.9 = 0.027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 =0.1 3 = 0.001;
Suriin: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.
Inilalagay namin ang mga posibleng halaga ng x i kasama ang abscissa axis, at ang kaukulang probabilities p i kasama ang ordinate axis. Bumuo tayo ng mga puntos na M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). Sa pamamagitan ng pagkonekta sa mga puntong ito sa mga segment ng tuwid na linya, nakukuha namin ang nais na polygon ng pamamahagi.
3. Hanapin natin ang distribution function F(x) = Р(Х
Para sa x ≤ 0 mayroon tayong F(x) = Р(Х<0) = 0;para sa 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
para sa 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
para sa 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
para sa x > 3 magkakaroon ng F(x) = 1, dahil maaasahan ang kaganapan.
 |
Graph ng function F(x)
4.
Para sa binomial distribution X:
- inaasahan sa matematika M(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- pagkakaiba D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- karaniwang paglihis σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.
Random na variable ay isang variable na maaaring tumagal sa ilang mga halaga depende sa iba't ibang mga pangyayari, at Ang random variable ay tinatawag na tuluy-tuloy , kung maaari itong kumuha ng anumang halaga mula sa anumang limitado o walang limitasyong pagitan. Para sa isang tuluy-tuloy na random na variable, imposibleng ipahiwatig ang lahat ng posibleng mga halaga, kaya itinalaga namin ang mga pagitan ng mga halagang ito na nauugnay sa ilang mga probabilidad.
Kabilang sa mga halimbawa ng tuluy-tuloy na random na variable ang: ang diameter ng isang bahagi na dinidiin sa isang partikular na laki, ang taas ng isang tao, ang flight range ng isang projectile, atbp.
Dahil para sa tuluy-tuloy na random variable ang function F(x), hindi katulad discrete random variables, ay walang mga jump kahit saan, kung gayon ang posibilidad ng anumang indibidwal na halaga ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay zero.
Nangangahulugan ito na para sa isang tuluy-tuloy na random na variable ay walang saysay na pag-usapan ang tungkol sa pamamahagi ng posibilidad sa pagitan ng mga halaga nito: bawat isa sa kanila ay may zero na posibilidad. Gayunpaman, sa isang kahulugan, kabilang sa mga halaga ng isang tuluy-tuloy na random na variable mayroong "higit pa at mas malamang". Halimbawa, halos walang sinuman ang magdududa na ang halaga ng isang random na variable - ang taas ng isang random na nakatagpo na tao - 170 cm - ay mas malamang kaysa sa 220 cm, bagaman ang parehong mga halaga ay maaaring mangyari sa pagsasanay.
Distribution function ng tuluy-tuloy na random variable at probability density
Bilang batas sa pamamahagi na may katuturan lamang para sa tuluy-tuloy na mga random na variable, ipinakilala ang konsepto ng density ng pamamahagi o density ng probability. Ating lapitan ito sa pamamagitan ng paghahambing ng kahulugan ng distribution function para sa tuluy-tuloy na random variable at para sa discrete random variable.
Kaya, ang distribution function ng isang random variable (parehong discrete at tuloy-tuloy) o integral function ay tinatawag na function na tumutukoy sa posibilidad na ang halaga ng isang random variable X mas mababa sa o katumbas ng halaga ng limitasyon X.
Para sa isang discrete random variable sa mga punto ng mga halaga nito x1 , x 2 , ..., x ako,... ang masa ng mga probabilidad ay puro p1 , p 2 , ..., p ako,..., at ang kabuuan ng lahat ng masa ay katumbas ng 1. Ilipat natin ang interpretasyong ito sa kaso ng tuluy-tuloy na random variable. Isipin natin na ang isang mass na katumbas ng 1 ay hindi puro sa mga indibidwal na puntos, ngunit patuloy na "pinahiran" kasama ang abscissa axis Oh na may ilang hindi pantay na density. Probability ng isang random variable na bumabagsak sa anumang lugar Δ x ay bibigyang-kahulugan bilang masa bawat seksyon, at ang average na density sa seksyong iyon bilang ratio ng masa sa haba. Ipinakilala lang namin ang isang mahalagang konsepto sa teorya ng posibilidad: density ng pamamahagi.
Densidad ng probabilidad f(x) ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay ang derivative ng distribution function nito:
.
Ang pag-alam sa function ng density, maaari mong mahanap ang posibilidad na ang halaga ng isang tuluy-tuloy na random variable ay kabilang sa closed interval [ a; b]:
ang posibilidad na ang isang tuluy-tuloy na random variable X kukuha ng anumang halaga mula sa pagitan [ a; b], ay katumbas ng isang tiyak na integral ng probability density nito mula sa a sa b:
.
Sa kasong ito, ang pangkalahatang formula ng function F(x) probability distribution ng isang tuluy-tuloy na random variable, na maaaring gamitin kung ang density function ay kilala f(x) :
.
Ang probability density graph ng isang tuluy-tuloy na random variable ay tinatawag na distribution curve nito (figure below).
Lugar ng isang figure (may shade sa figure) na nalilimitahan ng isang curve, mga tuwid na linya na iginuhit mula sa mga punto a At b patayo sa x-axis, at sa axis Oh, graphic na ipinapakita ang posibilidad na ang halaga ng tuluy-tuloy na random variable X ay nasa saklaw ng a sa b.
Mga katangian ng probability density function ng isang tuluy-tuloy na random variable
1. Ang posibilidad na ang isang random na variable ay kukuha ng anumang halaga mula sa pagitan (at ang lugar ng figure na nililimitahan ng graph ng function f(x) at axis Oh) ay katumbas ng isa:
2. Ang probability density function ay hindi maaaring kumuha ng mga negatibong halaga:
at sa labas ng pagkakaroon ng pamamahagi ay zero ang halaga nito
Densidad ng pamamahagi f(x), pati na rin ang function ng pamamahagi F(x), ay isa sa mga anyo ng batas sa pamamahagi, ngunit hindi katulad ng pagpapaandar ng pamamahagi, hindi ito pangkalahatan: ang density ng pamamahagi ay umiiral lamang para sa tuluy-tuloy na mga random na variable.
Banggitin natin ang dalawang pinakamahalagang uri ng pamamahagi ng tuluy-tuloy na random variable sa pagsasanay.
Kung ang distribution density function f(x) tuluy-tuloy na random variable sa ilang may hangganang pagitan [ a; b] ay tumatagal ng isang pare-parehong halaga C, at sa labas ng pagitan ay tumatagal ng isang halaga na katumbas ng zero, pagkatapos ito ang pamamahagi ay tinatawag na uniporme .
Kung ang graph ng distribution density function ay simetriko tungkol sa gitna, ang average na mga halaga ay puro malapit sa gitna, at kapag lumayo sa gitna, ang mga mas naiiba sa average ay kinokolekta (ang graph ng function ay kahawig ng isang seksyon ng isang kampana), pagkatapos ito ang pamamahagi ay tinatawag na normal .
Halimbawa 1. Ang probability distribution function ng isang tuluy-tuloy na random variable ay kilala:
Maghanap ng function f(x) probability density ng tuluy-tuloy na random variable. Bumuo ng mga graph ng parehong function. Hanapin ang posibilidad na ang tuluy-tuloy na random na variable ay kukuha ng anumang halaga sa pagitan mula 4 hanggang 8: .
Solusyon. Nakukuha namin ang probability density function sa pamamagitan ng paghahanap ng derivative ng probability distribution function:
Graph ng isang function F(x) - parabola:
Graph ng isang function f(x) - tuwid:
Hanapin natin ang posibilidad na ang tuluy-tuloy na random na variable ay kukuha ng anumang halaga sa hanay mula 4 hanggang 8:
Halimbawa 2. Ang probability density function ng isang tuluy-tuloy na random variable ay ibinibigay bilang:
Kalkulahin ang koepisyent C. Maghanap ng function F(x) probability distribution ng isang tuluy-tuloy na random variable. Bumuo ng mga graph ng parehong function. Hanapin ang posibilidad na ang tuluy-tuloy na random na variable ay kukuha ng anumang halaga sa hanay mula 0 hanggang 5: .
Solusyon. Coefficient C nakita namin, gamit ang property 1 ng probability density function:
Kaya, ang probability density function ng isang tuluy-tuloy na random variable ay:
Sa pamamagitan ng pagsasama, nakita namin ang function F(x) mga pamamahagi ng posibilidad. Kung x < 0 , то F(x) = 0 . Kung 0< x < 10 , то
.
x> 10, pagkatapos F(x) = 1 .
Kaya, ang kumpletong talaan ng probability distribution function ay:
Graph ng isang function f(x) :
Graph ng isang function F(x) :
Hanapin natin ang posibilidad na ang tuluy-tuloy na random na variable ay kukuha ng anumang halaga sa hanay mula 0 hanggang 5:
Halimbawa 3. Probability density ng tuluy-tuloy na random variable X ay ibinibigay ng pagkakapantay-pantay , at . Maghanap ng coefficient A, ang posibilidad na ang isang tuluy-tuloy na random na variable X kukuha ng anumang halaga mula sa interval ]0, 5[, ang distribution function ng isang tuluy-tuloy na random variable X.
Solusyon. Sa pamamagitan ng kondisyon ay nakarating tayo sa pagkakapantay-pantay
Samakatuwid, , mula saan . Kaya,
.
Ngayon nakita namin ang posibilidad na ang isang tuluy-tuloy na random variable X kukuha ng anumang halaga mula sa pagitan ]0, 5[:
Ngayon ay nakukuha natin ang distribution function ng random variable na ito:
Halimbawa 4. Hanapin ang probability density ng isang tuluy-tuloy na random variable X, na kumukuha lamang ng mga hindi negatibong halaga, at ang function ng pamamahagi nito 
.
Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paksang "Mga Random na variable".
Gawain 1 . Mayroong 100 tiket na inisyu para sa lottery. Isang panalo na 50 USD ang nakuha. at sampung panalo ng 10 USD bawat isa. Hanapin ang batas ng pamamahagi ng halaga X - ang halaga ng mga posibleng panalo.
Solusyon. Mga posibleng halaga para sa X: x 1 = 0; x 2 = 10 at x 3 = 50. Dahil mayroong 89 na “empty” na tiket, pagkatapos ay p 1 = 0.89, posibilidad na manalo ng $10. (10 tiket) – p 2 = 0.10 at upang manalo ng 50 USD -p 3 = 0.01. kaya:
|
0,89 |
0,10 |
0,01 |
Madaling kontrolin: .
Gawain 2. Ang posibilidad na nabasa nang maaga ng mamimili ang advertisement ng produkto ay 0.6 (p=0.6). Ang pagpili ng kontrol sa kalidad ng advertising ay isinasagawa sa pamamagitan ng pag-survey sa mga mamimili bago ang unang nag-aral ng advertising nang maaga. Gumuhit ng serye ng pamamahagi para sa bilang ng mga mamimiling sinuri.
Solusyon. Ayon sa mga kondisyon ng problema, p = 0.6. Mula sa: q=1 -p = 0.4. Ang pagpapalit ng mga halagang ito, nakukuha namin: at bumuo ng isang serye ng pamamahagi:
|
p i |
0,24 |
Gawain 3. Ang isang computer ay binubuo ng tatlong independiyenteng gumaganang elemento: ang system unit, ang monitor at ang keyboard. Sa isang solong matalim na pagtaas sa boltahe, ang posibilidad ng pagkabigo ng bawat elemento ay 0.1. Batay sa distribusyon ng Bernoulli, gumawa ng batas sa pamamahagi para sa bilang ng mga nabigong elemento sa panahon ng isang pagtaas ng kuryente sa network.
Solusyon. Isaalang-alang natin Pamamahagi ng Bernoulli(o binomial): ang posibilidad na n mga pagsubok, eksaktong lilitaw ang kaganapan A k minsan: 
, o:
|
q n |
p n |
SA Balik tayo sa gawain.
Mga posibleng halaga para sa X (bilang ng mga pagkabigo):
x 0 =0 – wala sa mga elemento ang nabigo;
x 1 =1 – kabiguan ng isang elemento;
x 2 =2 – kabiguan ng dalawang elemento;
x 3 =3 – kabiguan ng lahat ng elemento.
Dahil, ayon sa kondisyon, p = 0.1, pagkatapos q = 1 – p = 0.9. Gamit ang formula ni Bernoulli, nakukuha natin
, ,
, .
Kontrol: .
Samakatuwid, ang kinakailangang batas sa pamamahagi:
|
0,729 |
0,243 |
0,027 |
0,001 |
Suliranin 4. 5000 rounds ang ginawa. Ang posibilidad na ang isang cartridge ay may depekto 
. Ano ang posibilidad na magkakaroon ng eksaktong 3 may sira na cartridge sa buong batch?
Solusyon. Naaangkop Pamamahagi ng Poisson: Ang distribusyon na ito ay ginagamit upang matukoy ang posibilidad na, para sa napakalaki
bilang ng mga pagsubok (mass test), sa bawat isa kung saan ang posibilidad ng kaganapan A ay napakaliit, ang kaganapan A ay magaganap ng k beses: 
, Saan .
Dito n = 5000, p = 0.0002, k = 3. Nakikita namin ang , pagkatapos ay ang nais na posibilidad: 
.
Suliranin 5. Kapag nagpaputok hanggang sa unang tamaan na may posibilidad na tamaan p = 0.6 kapag nagpaputok, kailangan mong hanapin ang posibilidad na magkaroon ng hit sa ikatlong shot.
Solusyon. Maglapat tayo ng geometric distribution: hayaang magsagawa ng mga independiyenteng pagsubok, sa bawat isa kung saan ang kaganapan A ay may posibilidad ng paglitaw p (at hindi paglitaw q = 1 – p). Matatapos ang pagsusulit sa sandaling mangyari ang kaganapan A.
Sa ilalim ng gayong mga kundisyon, ang posibilidad na mangyari ang kaganapan A sa kth na pagsubok ay tinutukoy ng formula: . Dito p = 0.6; q = 1 – 0.6 = 0.4;k = 3. Samakatuwid, .
Suliranin 6. Hayaang ibigay ang batas ng pamamahagi ng isang random na variable X:
Hanapin ang mathematical na inaasahan.
Solusyon. .
Tandaan na ang probabilistic na kahulugan ng mathematical na inaasahan ay ang average na halaga ng isang random variable.
Suliranin 7. Hanapin ang pagkakaiba ng random variable X na may sumusunod na batas sa pamamahagi:
Solusyon. Dito .
Batas sa pamamahagi para sa squared value ng X 2 :
|
X 2 |
|||
Kinakailangang pagkakaiba: .
Ang dispersion ay nagpapakilala sa sukat ng paglihis (dispersion) ng isang random na variable mula sa inaasahan ng matematika nito.
Suliranin 8. Hayaan ang isang random na variable na ibigay ng pamamahagi:
|
10m |
|||
Hanapin ang mga numerical na katangian nito.
Solusyon: m, m 2 ,
M 2 , m.
Tungkol sa random variable X masasabi natin: ang inaasahan sa matematika nito ay 6.4 m na may pagkakaiba-iba na 13.04 m 2 , o – ang mathematical expectation nito ay 6.4 m na may deviation na m Ang pangalawang pagbabalangkas ay malinaw na mas malinaw.
Gawain 9.
Random na variable X ibinigay ng function ng pamamahagi: 
.
Hanapin ang posibilidad na bilang resulta ng pagsubok ang halaga ng X ay kukuha ng halagang nakapaloob sa pagitan 
.
Solusyon. Ang posibilidad na ang X ay kukuha ng isang halaga mula sa isang naibigay na pagitan ay katumbas ng pagtaas ng integral function sa pagitan na ito, i.e. . Sa aming kaso at , samakatuwid
.
Gawain 10. Discrete random variable X ay ibinigay ng batas sa pamamahagi:
Hanapin ang function ng pamamahagi F(x ) at i-plot ito.
Solusyon. Dahil ang function ng pamamahagi,
Para sa 
, Iyon
sa ;
sa ;
sa ;
sa ;
Kaugnay na tsart:
Suliranin 11. Patuloy na random variable X ibinigay ng differential distribution function: 
.
Hanapin ang posibilidad ng hit X bawat pagitan
Solusyon. Tandaan na ito ay isang espesyal na kaso ng exponential distribution law.
Gamitin natin ang formula: 
.
Gawain 12. Hanapin ang mga numerical na katangian ng isang discrete random variable X na tinukoy ng batas ng pamamahagi:
|
–5 |
|||||||||
|
X2:
|
- Pag-andar ng Laplace.Densidad ng pamamahagi mga probabilidad X tawagan ang function f(x)– ang unang derivative ng distribution function F(x):
Ang konsepto ng probability distribution density ng isang random variable X hindi naaangkop para sa mga discrete na dami.
Densidad ng pamamahagi ng probabilidad f(x)– tinatawag na differential distribution function:
Ari-arian 1. Ang density ng pamamahagi ay isang hindi negatibong dami:
Ari-arian 2. Ang hindi wastong integral ng density ng pamamahagi sa hanay mula hanggang sa ay katumbas ng pagkakaisa:
Halimbawa 1.25. Dahil sa distribution function ng isang tuluy-tuloy na random variable X:
f(x).
Solusyon: Ang density ng pamamahagi ay katumbas ng unang derivative ng distribution function:
1. Dahil sa distribution function ng isang tuluy-tuloy na random variable X:
Hanapin ang density ng pamamahagi.
2. Ang distribution function ng isang tuluy-tuloy na random variable ay ibinigay X:
Hanapin ang density ng pamamahagi f(x).
1.3. Mga de-numerong katangian ng tuluy-tuloy na random
dami
Pag-asa tuluy-tuloy na random variable X, ang mga posibleng halaga na nabibilang sa buong axis Oh, ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay:
Ipinapalagay na ang integral ay ganap na nagtatagpo.
a,b), na:
f(x)– density ng pamamahagi ng isang random na variable.
Pagpapakalat tuluy-tuloy na random variable X, ang mga posibleng halaga na nabibilang sa buong axis, ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay:
Isang espesyal na kaso. Kung ang mga halaga ng isang random na variable ay nabibilang sa pagitan ( a,b), na:
Ang posibilidad na X kukuha ng mga halagang kabilang sa pagitan ( a,b), ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay:
.
Halimbawa 1.26. Patuloy na random variable X
Hanapin ang mathematical na inaasahan, pagkakaiba at posibilidad na matamaan ang isang random na variable X sa pagitan (0;0.7).
Solusyon: Ang random variable ay ibinahagi sa pagitan (0,1). Alamin natin ang density ng pamamahagi ng isang tuluy-tuloy na random variable X:
a) Pag-asa sa matematika 
:
b) Pagkakaiba-iba 
V) 
Mga gawain para sa malayang gawain:
1. Random na variable X ibinigay ng function ng pamamahagi:
M(x);
b) pagkakaiba D(x);
X sa pagitan (2,3).
2. Random na variable X
Hanapin: a) mathematical na inaasahan M(x);
b) pagkakaiba D(x);
c) tukuyin ang posibilidad ng pagtama ng random variable X sa pagitan (1;1.5).
3. Random na variable X ibinigay ng pinagsama-samang pagpapaandar ng pamamahagi:
Hanapin: a) mathematical na inaasahan M(x);
b) pagkakaiba D(x);
c) tukuyin ang posibilidad ng pagtama ng random variable X sa pagitan
1.4. Mga batas ng pamamahagi ng tuluy-tuloy na random variable
1.4.1. Unipormeng pamamahagi
Patuloy na random variable X ay may pare-parehong pamamahagi sa segment [ a,b], kung sa segment na ito ang probability distribution density ng random variable ay pare-pareho, at sa labas nito ito ay katumbas ng zero, i.e.:
kanin. 4.
; 
; 
.
Halimbawa 1.27. Ang isang bus sa isang partikular na ruta ay gumagalaw nang pantay sa pagitan ng 5 minuto. Hanapin ang posibilidad na ang isang pare-parehong ibinahagi na random na variable X– ang oras ng paghihintay para sa bus ay mas mababa sa 3 minuto.
Solusyon: Random na variable X– pantay na ipinamamahagi sa pagitan .
Densidad ng posibilidad: 
.
Upang ang oras ng paghihintay ay hindi lalampas sa 3 minuto, ang pasahero ay dapat na lumitaw sa hintuan sa loob ng 2 hanggang 5 minuto pagkatapos umalis ang nakaraang bus, i.e. random variable X dapat mahulog sa pagitan (2;5). yun. kinakailangang probabilidad:
Mga gawain para sa malayang gawain:
1. a) hanapin ang mathematical na inaasahan ng isang random variable X ibinahagi nang pantay sa pagitan (2;8);
b) hanapin ang variance at standard deviation ng random variable X, ibinahagi nang pantay sa pagitan (2;8).
2. Ang minutong kamay ng isang de-koryenteng orasan ay biglang gumagalaw sa dulo ng bawat minuto. Hanapin ang posibilidad na sa isang naibigay na sandali ang orasan ay magpapakita ng oras na naiiba sa totoong oras nang hindi hihigit sa 20 segundo.
1.4.2. Exponential distribution
Patuloy na random variable X ay ipinamamahagi ayon sa exponential law kung ang probability density nito ay may anyo:
kung saan ang parameter ng exponential distribution.
Sa gayon 
kanin. 5.
Mga katangiang pang-numero:
Halimbawa 1.28. Random na variable X– oras ng pagpapatakbo ng isang bumbilya - may exponential distribution. Tukuyin ang posibilidad na ang oras ng pagpapatakbo ng bombilya ay hindi bababa sa 600 oras kung ang average na oras ng pagpapatakbo ay 400 oras.
Solusyon: Ayon sa mga kondisyon ng problema, ang matematikal na inaasahan ng isang random na variable X katumbas ng 400 oras, samakatuwid:
; 
Ang kinakailangang probabilidad, kung saan
Sa wakas:
Mga gawain para sa malayang gawain:
1. Isulat ang density at distribution function ng exponential law kung ang parameter .
2. Random na variable X
Hanapin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng isang dami X.
3. Random na variable X ay ibinibigay ng probability distribution function:
Hanapin ang mathematical expectation at standard deviation ng isang random variable.
1.4.3. Normal na pamamahagi
Normal ay tinatawag na probability distribution ng isang tuluy-tuloy na random variable X, na ang density ay may anyo:
saan A– mathematical expectation, – standard deviation X.
Ang posibilidad na X kukuha ng halagang kabilang sa pagitan:
, Saan
- Pag-andar ng Laplace.
Isang pamamahagi kung saan ; , ibig sabihin. may probability density 
tinatawag na pamantayan.
kanin. 6.
Ang posibilidad na ang ganap na halaga ay tinanggihan nang mas mababa sa isang positibong numero:
.
Sa partikular, kapag a= 0 ang pagkakapantay-pantay ay totoo:
Halimbawa 1.29. Random na variable X karaniwang ipinamamahagi. Standard deviation. Hanapin ang posibilidad na ang paglihis ng isang random na variable mula sa inaasahan sa matematika nito sa absolute value ay mas mababa sa 0.3.
Solusyon: .
Mga gawain para sa malayang gawain:
1. Isulat ang probability density ng normal distribution ng random variable X, alam na M(x)= 3, D(x)= 16.
2. Pag-asa at karaniwang paglihis ng isang karaniwang ibinahagi na random na variable X ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng 20 at 5. Hanapin ang posibilidad na bilang resulta ng pagsubok X kukunin ang halaga na nasa pagitan (15;20).
3. Ang mga random na error sa pagsukat ay napapailalim sa normal na batas na may standard deviation mm at mathematical expectation a= 0. Hanapin ang posibilidad na sa 3 independyenteng mga sukat ang error ng hindi bababa sa isa ay hindi lalampas sa 4 mm sa ganap na halaga.
4. Ang isang tiyak na sangkap ay tinitimbang nang walang sistematikong mga pagkakamali. Ang mga random na error sa pagtimbang ay napapailalim sa normal na batas na may standard deviation r. Hanapin ang posibilidad na ang pagtimbang ay isasagawa na may error na hindi hihigit sa 10 g sa ganap na halaga.
Mga de-numerong katangian ng tuluy-tuloy na random na mga variable. Hayaang tukuyin ang isang tuluy-tuloy na random variable X ng distribution function f(x)
Hayaang ang isang tuluy-tuloy na random variable X ay matukoy ng distribution function f(x). Ipagpalagay natin na ang lahat ng posibleng halaga ng random variable ay kabilang sa segment [ a,b].
Kahulugan. Pag-asa sa matematika isang tuluy-tuloy na random na variable X, ang mga posibleng halaga na kabilang sa segment , ay tinatawag na isang tiyak na integral
Kung ang mga posibleng halaga ng isang random na variable ay isinasaalang-alang sa buong numerical axis, kung gayon ang pag-asa sa matematika ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
Sa kasong ito, siyempre, ipinapalagay na ang hindi wastong integral ay nagtatagpo.
Kahulugan. Pagkakaiba ng isang tuluy-tuloy na random variable ay ang matematikal na inaasahan ng parisukat ng paglihis nito.
Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa pagkakaiba-iba ng isang discrete random variable, upang praktikal na kalkulahin ang pagkakaiba, ang formula ay ginagamit:
Kahulugan. Standard deviation tinatawag na square root ng variance.
Kahulugan. Fashion Ang M 0 ng isang discrete random variable ay tinatawag na pinakamalamang na halaga nito. Para sa tuluy-tuloy na random variable, ang mode ay ang halaga ng random variable kung saan ang density ng distribution ay may maximum.
Kung ang distribution polygon para sa isang discrete random variable o ang distribution curve para sa isang tuluy-tuloy na random variable ay may dalawa o higit pang maxima, kung gayon ang naturang distribution ay tinatawag na bimodal o multimodal. Kung ang isang pamamahagi ay may pinakamababa ngunit walang pinakamataas, kung gayon ito ay tinatawag antimodal.
Kahulugan. Median Ang M D ng isang random na variable X ay ang halaga nito na may kaugnayan kung saan ito ay pantay na posibilidad na ang isang mas malaki o mas maliit na halaga ng random na variable ay makukuha.
Sa geometriko, ang median ay ang abscissa ng punto kung saan ang lugar na nililimitahan ng curve ng pamamahagi ay nahahati sa kalahati. Tandaan na kung unimodal ang pamamahagi, ang mode at median ay tumutugma sa inaasahan sa matematika.
Kahulugan. Ang panimulang sandali utos k Ang random variable X ay ang mathematical na inaasahan ng value X k.
Para sa isang discrete random variable: .
.
Ang paunang sandali ng unang pagkakasunud-sunod ay katumbas ng inaasahan sa matematika.
Kahulugan. Gitnang sandali utos k random variable X ay ang matematikal na inaasahan ng halaga
Para sa isang discrete random variable: 
.
Para sa tuluy-tuloy na random na variable: 
.
Ang unang pagkakasunud-sunod ng gitnang sandali ay palaging zero, at ang pangalawang pagkakasunud-sunod na gitnang sandali ay katumbas ng pagpapakalat. Ang ikatlong-order na gitnang sandali ay nagpapakilala sa kawalaan ng simetrya ng pamamahagi.
Kahulugan. Ang ratio ng gitnang sandali ng ikatlong pagkakasunud-sunod sa karaniwang paglihis sa ikatlong kapangyarihan ay tinatawag koepisyent ng kawalaan ng simetrya.
Kahulugan. Upang makilala ang peakedness at flatness ng distribution, tinatawag ang isang quantity sobra.
Bilang karagdagan sa mga dami na isinasaalang-alang, ang tinatawag na ganap na mga sandali ay ginagamit din:
Ganap na panimulang sandali: . Ganap na sentral na punto: 
. Ang ganap na sentral na sandali ng unang pagkakasunud-sunod ay tinatawag arithmetic mean deviation.
Halimbawa. Para sa halimbawang tinalakay sa itaas, tukuyin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng random variable X.
Halimbawa. Mayroong 6 na puti at 4 na itim na bola sa isang urn. Ang isang bola ay tinanggal mula dito ng limang beses na sunud-sunod, at sa bawat oras na ang tinanggal na bola ay ibabalik at ang mga bola ay halo-halong. Isinasaalang-alang ang bilang ng mga nakuhang puting bola bilang random na variable X, gumawa ng batas sa pamamahagi para sa halagang ito, tukuyin ang mathematical na inaasahan at dispersion nito.
kasi ang mga bola sa bawat eksperimento ay ibinalik at pinaghalo, pagkatapos ay ang mga pagsusulit ay maaaring ituring na independyente (ang resulta ng nakaraang eksperimento ay hindi nakakaapekto sa posibilidad ng paglitaw o hindi paglitaw ng isang kaganapan sa isa pang eksperimento).
Kaya, ang posibilidad ng isang puting bola na lumitaw sa bawat eksperimento ay pare-pareho at katumbas ng
Kaya, bilang isang resulta ng limang magkakasunod na pagsubok, ang puting bola ay maaaring hindi lumitaw sa lahat, o lumitaw nang isang beses, dalawang beses, tatlo, apat o limang beses. Upang makabuo ng isang batas sa pamamahagi, kailangan mong hanapin ang mga probabilidad ng bawat isa sa mga kaganapang ito.
1) Ang puting bola ay hindi lumitaw:
2) Isang beses na lumitaw ang puting bola:
3) Ang puting bola ay lilitaw nang dalawang beses: 
.
