Ang isang discrete random variable x ay ibinibigay ng isang talahanayan. Discrete random variable at ang mga numerical na katangian nito

Ang isang serye ng pamamahagi ng isang discrete random variable ay ibinigay. Hanapin ang nawawalang posibilidad at i-plot ang distribution function. Kalkulahin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng dami na ito.

Ang random variable na X ay kumukuha lamang ng apat na halaga: -4, -3, 1 at 2. Ito ay tumatagal ng bawat isa sa mga halagang ito na may tiyak na posibilidad. Dahil ang kabuuan ng lahat ng probabilidad ay dapat na katumbas ng 1, ang nawawalang probabilidad ay katumbas ng:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

Buuin natin ang distribution function ng random variable X. Ito ay kilala na ang distribution function , kung gayon:

Kaya naman,

I-plot natin ang function F(x) .

Ang mathematical na inaasahan ng isang discrete random variable ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng halaga ng random variable at ang kaukulang probabilidad, i.e.

Nahanap namin ang pagkakaiba-iba ng isang discrete random variable gamit ang formula:

APLIKASYON

Mga elemento ng combinatorics Dito: - factorial ng isang numero

Mga aksyon sa mga kaganapan Ang isang kaganapan ay anumang katotohanan na maaaring mangyari o hindi maaaring mangyari bilang resulta ng isang karanasan. Pagsasama-sama ng mga Kaganapan A At SA- ito ay isang kaganapan SA na binubuo ng isang anyo o pangyayari A, o mga kaganapan SA, o parehong mga kaganapan nang sabay-sabay. pagtatalaga: ; Pagtawid ng mga Kaganapan A At SA- ito ay isang kaganapan SA, na binubuo ng sabay-sabay na paglitaw ng parehong mga kaganapan. pagtatalaga: ;

Klasikong kahulugan ng posibilidad Probability ng pangyayari A ay ang ratio ng bilang ng mga eksperimento , paborable para sa paglitaw ng isang kaganapan A, sa kabuuang bilang ng mga eksperimento :

Formula ng pagpaparami ng posibilidad Probability ng pangyayari ay matatagpuan gamit ang formula: - posibilidad ng kaganapan A, - posibilidad ng kaganapan SA, - posibilidad ng kaganapan SA sa kondisyon na ang kaganapan A nangyari na. Kung ang mga kaganapan A at B ay independyente (ang paglitaw ng isa ay hindi nakakaapekto sa paglitaw ng isa pa), kung gayon ang posibilidad ng kaganapan ay katumbas ng:

Formula para sa pagdaragdag ng mga probabilidad Probability ng pangyayari ay matatagpuan gamit ang formula: Probability ng pangyayari A, Probability ng pangyayari SA, - posibilidad ng co-occurrence ng mga kaganapan A At SA. Kung ang mga kaganapan A at B ay hindi magkatugma (hindi maaaring mangyari nang sabay-sabay), kung gayon ang posibilidad ng kaganapan ay katumbas ng:

Kabuuang Formula ng Probability Hayaan ang kaganapan A maaaring mangyari nang sabay-sabay sa isa sa mga kaganapan , , …, - tawagin natin silang hypotheses. Kilala rin - posibilidad ng pagpapatupad i-ika hypothesis at - posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A kapag isinasagawa i-th hypothesis. Tapos yung probability ng event A ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Bernoulli scheme Hayaang magkaroon ng mga independiyenteng pagsubok. Probability ng paglitaw (tagumpay) ng isang kaganapan A sa bawat isa sa kanila ay pare-pareho at pantay p, ang posibilidad ng pagkabigo (i.e. hindi nagaganap ang kaganapan A) q = 1 - p. Pagkatapos ay ang posibilidad ng paglitaw k tagumpay sa n Ang mga pagsubok ay matatagpuan gamit ang formula ni Bernoulli: Malamang na bilang ng mga tagumpay sa Bernoulli scheme, ito ang bilang ng mga paglitaw ng isang partikular na kaganapan na may pinakamataas na posibilidad.

Maaaring matagpuan gamit ang formula: Mga random na variable discrete tuloy (halimbawa, ang bilang ng mga batang babae sa isang pamilya na may 5 anak) (halimbawa, ang oras na gumagana nang maayos ang kettle) Mga numerical na katangian ng discrete random variable Hayaang magbigay ng discrete quantity ng isang serye ng pamamahagi: X R , , …, - mga halaga ng isang random na variable; X , , …, ay ang mga katumbas na halaga ng posibilidad. Pag-andar ng pamamahagi , , …, - mga halaga ng isang random na variable Distribution function ng isang random variable , , …, - mga halaga ng isang random na variable ay isang function na tinukoy sa buong linya ng numero at katumbas ng posibilidad na magkakaroon ng mas kaunti:

X

Mga tanong para sa pagsusulit

Kaganapan. Mga operasyon sa mga random na kaganapan.

Ang konsepto ng posibilidad ng kaganapan.

Mga panuntunan para sa pagdaragdag at pagpaparami ng mga probabilidad.

Mga probabilidad na may kondisyon.

Kabuuang formula ng posibilidad. Formula ni Bayes.

Bernoulli scheme.

Random na variable, ang function ng pamamahagi nito at serye ng pamamahagi.

Mga pangunahing katangian ng function ng pamamahagi.

Pag-asa sa matematika. Mga katangian ng inaasahan sa matematika.

Pagpapakalat. Mga katangian ng pagpapakalat.

Probability distribution density ng isang one-dimensional na random variable.

Mga uri ng distribusyon: uniporme, exponential, normal, binomial at Poisson distribution.

Lokal at integral theorems ng Moivre-Laplace.

Batas at pagpapaandar ng pamamahagi ng isang sistema ng dalawang random na variable.

Distribution density ng isang sistema ng dalawang random na variable.

Mga may kundisyong batas ng pamamahagi, may kondisyong inaasahan sa matematika.

Dependent at independent random variables.

Koepisyent ng ugnayan.

Sample. Pagproseso ng sample. Polygon at frequency histogram. Empirical distribution function. Ang isang variable ay tinatawag na isang variable na, bilang resulta ng bawat pagsubok, ay tumatagal sa isang dating hindi alam na halaga, depende sa mga random na dahilan. Ang mga random na variable ay tinutukoy ng malaking Latin na letra: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Ayon sa kanilang uri, ang mga random na variable ay maaaring discrete At tuloy-tuloy.

Discrete random variable- ito ay isang random na variable na ang mga halaga ay maaaring hindi hihigit sa mabibilang, iyon ay, maaaring may hangganan o mabibilang. Sa pamamagitan ng countability, ibig sabihin namin na ang mga halaga ng isang random na variable ay maaaring bilangin.

Halimbawa 1 . Narito ang mga halimbawa ng mga discrete random variable:

a) ang bilang ng mga hit sa target na may $n$ shot, dito ang mga posibleng value ay $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) ang bilang ng mga emblem na nalaglag kapag naghagis ng barya, dito ang mga posibleng halaga ay $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

c) ang bilang ng mga barkong dumarating sakay (isang mabibilang na hanay ng mga halaga).

d) ang bilang ng mga tawag na dumarating sa PBX (countable set of values).

1. Batas ng probability distribution ng isang discrete random variable.

Ang isang discrete random variable na $X$ ay maaaring kumuha ng mga value na $x_1,\dots ,\ x_n$ na may probabilities na $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Ang pagsusulatan sa pagitan ng mga halagang ito at ang kanilang mga probabilidad ay tinatawag batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable. Bilang isang tuntunin, ang sulat na ito ay tinukoy gamit ang isang talahanayan, ang unang linya kung saan ay nagpapahiwatig ng mga halaga $x_1,\dots ,\ x_n$, at ang pangalawang linya ay naglalaman ng mga probabilities na $p_1,\dots ,\ p_n$ na katumbas ng ang mga halagang ito.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(array)$

Halimbawa 2 . Hayaang ang random variable na $X$ ang bilang ng mga puntos na pinagsama kapag naghahagis ng die. Ang ganitong random na variable na $X$ ay maaaring tumagal ng mga sumusunod na halaga: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Ang mga probabilidad ng lahat ng mga halagang ito ay katumbas ng $1/6$. Pagkatapos ang batas ng probability distribution ng random variable $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(array)$

Magkomento. Dahil sa batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable $X$ ang mga kaganapan na $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga kaganapan, kung gayon ang kabuuan ng mga probabilidad ay dapat na katumbas ng isa, iyon ay, $ \sum(p_i)=1$.

2. Mathematical expectation ng isang discrete random variable.

Pag-asa ng isang random na variable nagtatakda ng "gitnang" kahulugan nito. Para sa isang discrete random variable, ang mathematical expectation ay kinakalkula bilang kabuuan ng mga produkto ng mga value na $x_1,\dots ,\ x_n$ at ang probabilities $p_1,\dots ,\ p_n$ na naaayon sa mga value na ito, iyon ay : $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Sa panitikan sa wikang Ingles, isa pang notasyong $E\left(X\right)$ ang ginagamit.

Mga katangian ng inaasahan sa matematika$M\kaliwa(X\kanan)$:

1. Ang $M\left(X\right)$ ay nasa pagitan ng pinakamaliit at pinakamalaking value ng random variable na $X$.
2. Ang pag-asa sa matematika ng isang pare-pareho ay katumbas ng pare-pareho mismo, i.e. $M\left(C\right)=C$.
3. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng inaasahan sa matematika: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Ang mathematical na inaasahan ng kabuuan ng mga random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga mathematical na inaasahan: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Ang mathematical expectation ng produkto ng independent random variables ay katumbas ng product ng kanilang mathematical expectations: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Halimbawa 3 . Hanapin natin ang mathematical na inaasahan ng random variable na $X$ mula sa halimbawang $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 )\over (6))=3.5.$$

Mapapansin natin na ang $M\left(X\right)$ ay nasa pagitan ng pinakamaliit ($1$) at pinakamalaking ($6$) na halaga ng random variable na $X$.

Halimbawa 4 . Alam na ang mathematical expectation ng random variable na $X$ ay katumbas ng $M\left(X\right)=2$. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng random variable na $3X+5$.

Gamit ang mga katangian sa itaas, nakukuha namin ang $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Halimbawa 5 . Nabatid na ang mathematical expectation ng random variable na $X$ ay katumbas ng $M\left(X\right)=4$. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng random variable na $2X-9$.

Gamit ang mga katangian sa itaas, makakakuha tayo ng $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Pagpapakalat ng isang discrete random variable.

Ang mga posibleng halaga ng mga random na variable na may pantay na mga inaasahan sa matematika ay maaaring magkalat nang iba sa kanilang mga average na halaga. Halimbawa, sa dalawang grupo ng mag-aaral ang average na marka para sa pagsusulit sa probability theory ay naging 4, ngunit sa isang grupo lahat ay naging mahusay na mag-aaral, at sa kabilang grupo ay mayroon lamang mga mag-aaral na C at mahusay na mga mag-aaral. Samakatuwid, mayroong pangangailangan para sa isang numerical na katangian ng isang random na variable na magpapakita ng pagkalat ng mga halaga ng random variable sa paligid ng kanyang inaasahan sa matematika. Ang katangiang ito ay pagpapakalat.

Pagkakaiba ng isang discrete random variable Ang $X$ ay katumbas ng:

$$D\kaliwa(X\kanan)=\sum^n_(i=1)(p_i(\kaliwa(x_i-M\kaliwa(X\kanan)\kanan))^2).\ $$

Sa panitikang Ingles ang notasyong $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ ay ginagamit. Kadalasan ang variance $D\left(X\right)$ ay kinakalkula gamit ang formula na $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ kaliwa(X \kanan)\kanan))^2$.

Mga katangian ng pagpapakalat$D\left(X\right)$:

1. Ang pagkakaiba ay palaging mas malaki kaysa sa o katumbas ng zero, i.e. $D\left(X\right)\ge 0$.
2. Ang pagkakaiba-iba ng pare-pareho ay zero, i.e. $D\left(C\right)=0$.
3. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa dispersion sign sa kondisyon na ito ay squared, i.e. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Ang pagkakaiba ng kabuuan ng mga independiyenteng random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga pagkakaiba, i.e. $D\left(X+Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.
5. Ang pagkakaiba ng pagkakaiba sa pagitan ng mga independiyenteng random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga pagkakaiba, i.e. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Halimbawa 6 . Kalkulahin natin ang pagkakaiba ng random variable na $X$ mula sa halimbawang $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3.5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3.5\right))^2+ \dots +( (1)\over (6))\cdot (\left(6-3.5\right))^2=((35)\over (12))\approx 2.92.$$

Halimbawa 7 . Alam na ang pagkakaiba ng random variable na $X$ ay katumbas ng $D\left(X\right)=2$. Hanapin ang pagkakaiba ng random variable na $4X+1$.

Gamit ang mga katangian sa itaas, makikita natin ang $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ kaliwa(X\kanan)=16\cdot 2=32$.

Halimbawa 8 . Alam na ang pagkakaiba ng random variable na $X$ ay katumbas ng $D\left(X\right)=3$. Hanapin ang pagkakaiba ng random variable na $3-2X$.

Gamit ang mga katangian sa itaas, makikita natin ang $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ left(X\right)=4\cdot 3=12$.

4. Distribution function ng isang discrete random variable.

Ang paraan ng kumakatawan sa isang discrete random variable sa anyo ng isang serye ng pamamahagi ay hindi lamang isa, at higit sa lahat, ito ay hindi pangkalahatan, dahil ang isang tuluy-tuloy na random na variable ay hindi maaaring tukuyin gamit ang isang serye ng pamamahagi. May isa pang paraan upang kumatawan sa isang random na variable - ang distribution function.

Pag-andar ng pamamahagi Ang random variable na $X$ ay tinatawag na function na $F\left(x\right)$, na tumutukoy sa posibilidad na ang random variable na $X$ ay kukuha ng value na mas mababa sa ilang fixed value na $x$, iyon ay, $F\ kaliwa(x\kanan )=P\kaliwa(X< x\right)$

Mga katangian ng function ng pamamahagi:

1. $0\le F\kaliwa(x\kanan)\le 1$.
2. Ang posibilidad na ang random variable na $X$ ay kukuha ng mga halaga mula sa pagitan ng $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga value ng distribution function sa mga dulo nito pagitan: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - hindi bumababa.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \kanan)=1\ )$.

Halimbawa 9 . Hanapin natin ang distribution function na $F\left(x\right)$ para sa distribution law ng discrete random variable na $X$ mula sa halimbawang $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(array)$

Kung $x\le 1$, kung gayon, malinaw naman, $F\left(x\right)=0$ (kabilang ang para sa $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Kung $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Kung $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Kung $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Kung $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Kung $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Kung $x > 6$, pagkatapos ay $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) +P\kaliwa(X=4\kanan)+P\kaliwa(X=5\kanan)+P\kaliwa(X=6\kanan)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Kaya $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6,sa\ 1< x\le 2,\\
1/3,\ sa\ 2< x\le 3,\\
1/2,sa\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ sa\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ sa\ 4< x\le 5,\\
1,\ para sa\ x > 6.
\end(matrix)\right.$

Sa pahinang ito nakolekta namin ang mga halimbawa ng mga solusyong pang-edukasyon mga problema tungkol sa mga discrete random variable. Ito ay isang medyo malawak na seksyon: ang iba't ibang mga batas sa pamamahagi (binomial, geometric, hypergeometric, Poisson at iba pa), ang mga katangian at numerical na katangian ay pinag-aaralan para sa bawat serye ng pamamahagi, ang mga graphical na representasyon ay maaaring mabuo: polygon (polygon) ng mga probabilities, distribution function.

Sa ibaba ay makikita mo ang mga halimbawa ng mga desisyon tungkol sa mga discrete random variable, kung saan kailangan mong mag-apply ng kaalaman mula sa mga nakaraang seksyon ng probability theory upang makabuo ng batas sa pamamahagi, at pagkatapos ay kalkulahin ang mathematical expectation, dispersion, standard deviation, bumuo ng distribution function, sagot. mga tanong tungkol sa DSV, atbp. p.

Mga halimbawa para sa mga sikat na batas sa pamamahagi ng posibilidad:

Mga Calculator para sa mga katangian ng DSV

• Pagkalkula ng mathematical na inaasahan, dispersion at standard deviation ng DSV.

Nalutas ang mga problema tungkol sa DSV

Mga distribusyon na malapit sa geometric

Gawain 1. Mayroong 4 na ilaw ng trapiko sa kahabaan ng landas ng kotse, bawat isa ay nagbabawal sa karagdagang paggalaw ng kotse na may posibilidad na 0.5. Hanapin ang serye ng pamamahagi ng bilang ng mga traffic light na dumaan sa kotse bago ang unang hintuan. Ano ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng random variable na ito?

Gawain 2. Ang mangangaso ay bumaril sa laro hanggang sa unang hit, ngunit nakakapagpaputok ng hindi hihigit sa apat na putok. Bumuo ng batas sa pamamahagi para sa bilang ng mga miss kung ang posibilidad na matamaan ang target sa isang shot ay 0.7. Hanapin ang pagkakaiba ng random variable na ito.

Gawain 3. Ang tagabaril, na mayroong 3 cartridge, ay bumaril sa target hanggang sa unang tama. Ang mga hit probabilities para sa una, pangalawa at pangatlong shot ay 0.6, 0.5, 0.4, ayon sa pagkakabanggit. S.V. $\xi$ - bilang ng mga natitirang cartridge. Bumuo ng serye ng pamamahagi ng isang random na variable, hanapin ang mathematical expectation, variance, standard deviation ng random variable, bumuo ng distribution function ng random variable, hanapin ang $P(|\xi-m| \le \sigma$.

Gawain 4. Ang kahon ay naglalaman ng 7 pamantayan at 3 may sira na bahagi. Inalis nila ang mga bahagi nang sunud-sunod hanggang sa lumitaw ang karaniwang isa, nang hindi ibinabalik ang mga ito. Ang $\xi$ ay ang bilang ng mga may sira na bahagi na nakuha.
Gumuhit ng batas sa pamamahagi para sa isang discrete random variable na $\xi$, kalkulahin ang mathematical expectation nito, variance, standard deviation, gumuhit ng distribution polygon at isang graph ng distribution function.

Mga gawain na may mga independiyenteng kaganapan

Gawain 5. 3 estudyante ang lumabas para sa muling pagsusulit sa probability theory. Ang posibilidad na ang unang tao ay makapasa sa pagsusulit ay 0.8, ang pangalawa - 0.7, at ang pangatlo - 0.9. Hanapin ang serye ng pamamahagi ng random variable na $\xi$ ng bilang ng mga mag-aaral na nakapasa sa pagsusulit, i-plot ang distribution function, hanapin ang $M(\xi), D(\xi)$.

Gawain 6. Ang posibilidad na matamaan ang target sa isang shot ay 0.8 at bumababa sa bawat shot ng 0.1. Bumuo ng batas sa pamamahagi para sa bilang ng mga hit sa isang target kung tatlong putok ang nagpaputok. Hanapin ang inaasahang halaga, pagkakaiba at S.K.O. ang random variable na ito. Gumuhit ng graph ng distribution function.

Gawain 7. 4 na putok ang ipinutok sa target. Ang posibilidad ng isang hit ay tumataas tulad ng sumusunod: 0.2, 0.4, 0.6, 0.7. Hanapin ang batas ng pamamahagi ng random variable na $X$ - ang bilang ng mga hit. Hanapin ang posibilidad na ang $X \ge 1$.

Gawain 8. Dalawang simetriko na barya ang itinatapon at binibilang ang bilang ng mga sandata sa magkabilang tuktok na gilid ng mga barya. Isinasaalang-alang namin ang isang discrete random variable $X$ - ang bilang ng mga coat of arm sa parehong mga barya. Isulat ang batas ng pamamahagi ng random variable na $X$, hanapin ang mathematical expectation nito.

Iba pang mga problema at batas ng pamamahagi ng DSV

Gawain 9. Dalawang manlalaro ng basketball ang gumawa ng tatlong shot sa basket. Ang posibilidad na matamaan ang unang manlalaro ng basketball ay 0.6, para sa pangalawa - 0.7. Hayaan ang $X$ ang pagkakaiba sa pagitan ng bilang ng mga matagumpay na shot ng una at pangalawang manlalaro ng basketball. Hanapin ang distribution series, mode at distribution function ng random variable na $X$. Bumuo ng distribution polygon at isang graph ng distribution function. Kalkulahin ang inaasahang halaga, variance at standard deviation. Hanapin ang posibilidad ng kaganapan $(-2 \lt X \le 1)$.

Suliranin 10. Ang bilang ng mga out-of-town ships na dumarating araw-araw para sa pagkarga sa isang partikular na daungan ay isang random na variable na $X$, na ibinigay bilang sumusunod:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) siguraduhin na ang serye ng pamamahagi ay tinukoy,
B) hanapin ang distribution function ng random variable na $X$,
C) kung higit sa tatlong barko ang dumating sa isang partikular na araw, inaako ng daungan ang responsibilidad para sa mga gastos dahil sa pangangailangan na kumuha ng karagdagang mga driver at loader. Ano ang posibilidad na ang port ay magkakaroon ng karagdagang gastos?
D) hanapin ang mathematical expectation, variance at standard deviation ng random variable na $X$.

Suliranin 11. 4 na dice ang itinapon. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng kabuuan ng bilang ng mga puntos na lilitaw sa lahat ng panig.

Suliranin 12. Salitan ang dalawa sa paghahagis ng barya hanggang sa unang lumitaw ang coat of arms. Ang player na nakakuha ng coat of arms ay tumatanggap ng 1 ruble mula sa ibang player. Hanapin ang mathematical na inaasahan na manalo para sa bawat manlalaro.

Kahulugan 1

Ang isang random na variable na $X$ ay tinatawag na discrete (discontinuous) kung ang hanay ng mga value nito ay walang hanggan o may hangganan ngunit mabibilang.

Sa madaling salita, ang isang dami ay tinatawag na discrete kung ang mga halaga nito ay maaaring bilangin.

Ang isang random na variable ay maaaring ilarawan gamit ang batas ng pamamahagi.

Ang batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable $X$ ay maaaring tukuyin sa anyo ng isang talahanayan, ang unang linya kung saan ay nagpapahiwatig ng lahat ng posibleng mga halaga ng random variable sa pataas na pagkakasunud-sunod, at ang pangalawang linya ay naglalaman ng kaukulang mga probabilidad ng mga ito. mga halaga:

Larawan 1.

kung saan $р1+ р2+ ... + рn = 1$.

Ang table na ito ay malapit sa pamamahagi ng isang discrete random variable.

Kung ang hanay ng mga posibleng halaga ng isang random na variable ay walang katapusan, ang seryeng $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ ay nagtatagpo at ang kabuuan nito ay magiging katumbas ng $1$.

Ang batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable na $X$ ay maaaring ilarawan nang grapiko, kung saan ang isang putol na linya ay itinayo sa isang (parihaba) coordinate system na sunud-sunod na nag-uugnay sa mga puntos na may mga coordinate $(xi;pi), i=1,2, . .. n$. Tinawag ang linyang nakuha namin polygon ng pamamahagi.

Larawan 2.

Ang batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable na $X$ ay maaari ding ilarawan sa analytical (gamit ang formula):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

Mga operasyon sa discrete probabilities

Kapag nilulutas ang maraming mga problema sa teorya ng posibilidad, kinakailangan na magsagawa ng mga operasyon ng pagpaparami ng isang discrete random variable sa pamamagitan ng isang pare-pareho, pagdaragdag ng dalawang random na variable, pagpaparami sa kanila, pagpapalit sa kanila sa isang kapangyarihan. Sa mga kasong ito, kinakailangan na sumunod sa mga sumusunod na patakaran para sa mga random na discrete na dami:

Kahulugan 3

Pagpaparami ng isang discrete random variable $X$ sa pamamagitan ng isang constant $K$ ay isang discrete random variable $Y=KX,$ na tinutukoy ng mga pagkakapantay-pantay: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\ kaliwa(x_i\kanan)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$

Kahulugan 4

Dalawang random na variable na $x$ at $y$ ang tinatawag malaya, kung ang batas sa pamamahagi ng isa sa mga ito ay hindi nakasalalay sa kung anong posibleng mga halaga ang nakuha ng pangalawang dami.

Kahulugan 5

Halaga dalawang independiyenteng discrete random variable $X$ at $Y$ ay tinatawag na random variable $Z=X+Y,$ ay tinutukoy ng mga pagkakapantay-pantay: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij) )\kanan)= P\kaliwa(x_i\kanan)P\kaliwa(y_j\kanan)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\left (x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Kahulugan 6

Pagpaparami dalawang independiyenteng discrete random variable $X$ at $Y$ ay tinatawag na random variable $Z=XY,$ ay tinutukoy ng mga pagkakapantay-pantay: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\left( x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ kaliwa(x_i\kanan)=p_i$, $P\kaliwa(y_j\kanan)=p"_j$.

Isaalang-alang natin na ang ilang mga produkto na $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ ay maaaring maging katumbas ng isa't isa. Sa kasong ito, ang posibilidad ng pagdaragdag ng produkto ay katumbas ng kabuuan ng mga katumbas na probabilidad.

Halimbawa, kung $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $ang probabilidad ng $x_2y_3$ (o kaparehong $x_5y_7$) ay magiging katumbas ng $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7 .$

Nalalapat din ang nasa itaas sa halaga. Kung $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ kung gayon ang probabilidad ng $x_1+\ y_2$ (o ang parehong $x_4+\ y_6$) ay magiging katumbas ng $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6. $

Ang mga random na variable na $X$ at $Y$ ay tinukoy ng mga batas sa pamamahagi:

Larawan 3.

Kung saan ang $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ Kung gayon ang batas ng pamamahagi ng kabuuan na $X+Y$ ay magkakaroon ng form

Larawan 4.

At ang batas ng pamamahagi ng produkto na $XY$ ay magkakaroon ng anyo

Larawan 5.

Pag-andar ng pamamahagi

Ang kumpletong paglalarawan ng isang random na variable ay ibinibigay din ng function ng pamamahagi.

Geometrically, ang distribution function ay ipinaliwanag bilang ang posibilidad na ang random variable na $X$ ay kumukuha ng value na kinakatawan sa number line sa pamamagitan ng point na nasa kaliwa ng point na $x$.

Ang isa sa pinakamahalagang konsepto sa teorya ng posibilidad ay ang konsepto random variable.

Random tinawag laki, na bilang isang resulta ng pagsubok ay tumatagal sa ilang posibleng mga halaga na hindi alam nang maaga at umaasa sa mga random na dahilan na hindi maaaring isaalang-alang nang maaga.

Ang mga random na variable ay itinalaga ng malalaking titik ng alpabetong Latin X, Y, Z atbp. o sa malalaking titik ng alpabetong Latin na may kanang ibabang index, at ang mga halaga na maaaring kunin ng mga random na variable - sa kaukulang maliliit na titik ng alpabetong Latin x, y, z atbp.

Ang konsepto ng isang random na variable ay malapit na nauugnay sa konsepto ng isang random na kaganapan. Koneksyon sa isang random na kaganapan ay nakasalalay sa katotohanan na ang pag-aampon ng isang random na variable ng isang tiyak na halaga ng numero ay isang random na kaganapan na nailalarawan sa pamamagitan ng posibilidad .

Sa pagsasagawa, mayroong dalawang pangunahing uri ng mga random na variable:

1. Discrete random variable;

2. Patuloy na random variable.

Ang random variable ay isang numerical function ng random na mga kaganapan.

Halimbawa, ang isang random na variable ay ang bilang ng mga puntos na nakuha kapag naghagis ng isang die, o ang taas ng isang mag-aaral na random na pinili mula sa isang grupo ng pag-aaral.

Mga discrete na random variable ay tinatawag na mga random na variable na kumukuha lamang ng mga halaga na malayo sa isa't isa na maaaring mailista nang maaga.

Batas ng pamamahagi(distribution function at distribution series o probability density) ganap na inilalarawan ang gawi ng isang random na variable. Ngunit sa isang bilang ng mga problema, sapat na upang malaman ang ilang mga numerical na katangian ng dami na pinag-aaralan (halimbawa, ang average na halaga nito at posibleng paglihis mula dito) upang masagot ang tanong na ibinibigay. Isaalang-alang natin ang pangunahing numerical na katangian ng mga discrete random variable.

Batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable bawat relasyon ay tinatawag , pagtatatag ng isang koneksyon sa pagitan ng mga posibleng halaga ng isang random na variable at ang kanilang mga kaukulang probabilidad .

Ang batas ng pamamahagi ng isang random na variable ay maaaring katawanin bilang mga mesa:

			…	…
			…	…

Ang kabuuan ng mga probabilidad ng lahat ng posibleng halaga ng isang random na variable ay katumbas ng isa, i.e.

Maaaring ilarawan ang batas sa pamamahagi graphically: ang mga posibleng halaga ng isang random na variable ay naka-plot kasama ang abscissa axis, at ang mga probabilidad ng mga halagang ito ay naka-plot kasama ang ordinate axis; ang mga resultang punto ay konektado sa pamamagitan ng mga segment. Ang itinayong polyline ay tinatawag polygon ng pamamahagi.

Halimbawa. Ang isang mangangaso na may 4 na cartridge ay bumaril sa laro hanggang sa siya ay gumawa ng unang hit o maubos ang lahat ng mga cartridge. Ang posibilidad ng pagtama sa unang shot ay 0.7, sa bawat kasunod na shot ay bumababa ito ng 0.1. Bumuo ng batas sa pamamahagi para sa bilang ng mga cartridge na ginugol ng isang mangangaso.

Solusyon. Dahil ang isang mangangaso, na mayroong 4 na cartridge, ay maaaring magpaputok ng apat na putok, pagkatapos ay ang random na variable X- ang bilang ng mga cartridge na ginugol ng mangangaso ay maaaring tumagal ng mga halaga 1, 2, 3, 4. Upang mahanap ang kaukulang mga probabilidad, ipinakilala namin ang mga kaganapan:

- “tamaan ng ako- oh shot”, ;

- “miss kailan ako- om shot", at ang mga kaganapan at independiyenteng magkapares.

Ayon sa mga kondisyon ng problema, mayroon kaming:

,

Gamit ang multiplication theorem para sa mga independiyenteng kaganapan at ang addition theorem para sa mga hindi tugmang kaganapan, makikita natin ang:

(natamaan ng mangangaso ang target sa unang putok);

(natamaan ng mangangaso ang target sa pangalawang putok);

(natamaan ng mangangaso ang target sa ikatlong putok);

(natamaan ng mangangaso ang target sa ikaapat na pagbaril o napalampas lahat ng apat na beses).

Suriin: - totoo.

Kaya, ang batas ng pamamahagi ng isang random variable X ay may anyo:

	0,7	0,18	0,06	0,06

Halimbawa. Ang isang manggagawa ay nagpapatakbo ng tatlong makina. Ang posibilidad na sa loob ng isang oras ang unang makina ay hindi mangangailangan ng pagsasaayos ay 0.9, ang pangalawa - 0.8, ang pangatlo - 0.7. Bumuo ng batas sa pamamahagi para sa bilang ng mga makina na mangangailangan ng pagsasaayos sa loob ng isang oras.

Solusyon. Random na variable X- ang bilang ng mga makina na mangangailangan ng pagsasaayos sa loob ng isang oras ay maaaring tumagal ng mga halaga 0.1, 2, 3. Upang mahanap ang kaukulang mga probabilidad, ipinakilala namin ang mga kaganapan:

- “i- ang makina ay mangangailangan ng pagsasaayos sa loob ng isang oras,” ;

- “i- ang makina ay hindi mangangailangan ng pagsasaayos sa loob ng isang oras,” .

Ayon sa mga kondisyon ng problema na mayroon tayo:

, .