Produkto ng mga numero sa isang pag-unlad ng arithmetic. Arithmetic progression – pagkakasunud-sunod ng numero

Ang konsepto ng isang pagkakasunud-sunod ng numero ay nagpapahiwatig na ang bawat natural na numero ay tumutugma sa ilang tunay na halaga. Ang ganitong serye ng mga numero ay maaaring alinman sa arbitrary o may ilang partikular na katangian - isang pag-unlad. Sa huling kaso, ang bawat kasunod na elemento (miyembro) ng sequence ay maaaring kalkulahin gamit ang nauna.

Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay isang pagkakasunud-sunod ng mga numerong halaga kung saan ang mga kalapit na miyembro nito ay naiiba sa bawat isa sa parehong numero (lahat ng mga elemento ng serye, simula sa ika-2, ay may katulad na pag-aari). Ang bilang na ito - ang pagkakaiba sa pagitan ng nauna at kasunod na mga termino - ay pare-pareho at tinatawag na pagkakaiba sa pag-unlad.

Pagkakaiba sa pag-unlad: kahulugan

Isaalang-alang ang isang pagkakasunud-sunod na binubuo ng mga halaga ng j A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j ay kabilang sa hanay ng mga natural na numero N. Isang arithmetic Ang pag-unlad, ayon sa kahulugan nito, ay isang sequence , kung saan ang a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Ang halaga d ay ang nais na pagkakaiba ng pag-unlad na ito.

d = a(j) – a(j-1).

I-highlight:

• Isang tumataas na pag-unlad, kung saan d > 0. Halimbawa: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Pagbaba ng pag-unlad, pagkatapos d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Pag-unlad ng pagkakaiba at ang mga arbitrary na elemento nito

Kung ang 2 arbitrary na termino ng pag-unlad ay kilala (i-th, k-th), kung gayon ang pagkakaiba para sa isang naibigay na pagkakasunod-sunod ay maaaring matukoy batay sa relasyon:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, na nangangahulugang d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Pagkakaiba ng pag-unlad at ang unang termino nito

Ang expression na ito ay makakatulong na matukoy ang isang hindi kilalang halaga lamang sa mga kaso kung saan ang bilang ng elemento ng pagkakasunud-sunod ay kilala.

Pagkakaiba ng pag-unlad at ang kabuuan nito

Ang kabuuan ng isang pag-unlad ay ang kabuuan ng mga termino nito. Upang kalkulahin ang kabuuang halaga ng unang j elemento nito, gamitin ang naaangkop na formula:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ngunit mula noon a(j) = a(1) + d(j – 1), pagkatapos ay S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Ang ilang mga tao ay itinuturing ang salitang "pag-unlad" nang may pag-iingat, bilang isang napaka-komplikadong termino mula sa mga sangay ng mas mataas na matematika. Samantala, ang pinakasimpleng pag-unlad ng aritmetika ay ang gawain ng metro ng taxi (kung saan umiiral pa rin ang mga ito). At ang pag-unawa sa kakanyahan (at sa matematika ay walang mas mahalaga kaysa sa "pag-unawa sa kakanyahan") ng isang pagkakasunud-sunod ng aritmetika ay hindi napakahirap, na pinag-aralan ang ilang mga elementarya na konsepto.

Pagkakasunod-sunod ng numero ng matematika

Ang isang numerical sequence ay karaniwang tinatawag na isang serye ng mga numero, bawat isa ay may sariling numero.

a 1 ang unang miyembro ng sequence;

at ang 2 ay ang pangalawang termino ng sequence;

at ang 7 ay ang ikapitong miyembro ng sequence;

at ang n ay ang ika-n miyembro ng sequence;

Gayunpaman, hindi anumang arbitrary na hanay ng mga numero at numero ang interesado sa amin. Itutuon natin ang ating pansin sa isang numerical sequence kung saan ang halaga ng ika-n na termino ay nauugnay sa ordinal na numero nito sa pamamagitan ng isang relasyon na malinaw na mabubuo nang mathematically. Sa madaling salita: ang numerical value ng nth number ay ilang function ng n.

a ay ang halaga ng isang miyembro ng isang numerical sequence;

n ang serial number nito;

Ang f(n) ay isang function, kung saan ang ordinal na numero sa numerical sequence n ay ang argument.

Kahulugan

Ang pag-unlad ng aritmetika ay karaniwang tinatawag na numerical sequence kung saan ang bawat kasunod na termino ay mas malaki (mas mababa) kaysa sa nauna sa pamamagitan ng parehong numero. Ang formula para sa ika-n na termino ng isang arithmetic sequence ay ang mga sumusunod:

a n - ang halaga ng kasalukuyang miyembro ng arithmetic progression;

isang n+1 - formula ng susunod na numero;

d - pagkakaiba (tiyak na numero).

Madaling matukoy na kung ang pagkakaiba ay positibo (d>0), kung gayon ang bawat kasunod na miyembro ng seryeng isinasaalang-alang ay magiging mas malaki kaysa sa nauna at ang gayong pag-unlad ng aritmetika ay tataas.

Sa graph sa ibaba, madaling makita kung bakit tinatawag na "tumataas" ang pagkakasunod-sunod ng numero.

Sa mga kaso kung saan negatibo ang pagkakaiba (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Tinukoy na halaga ng miyembro

Minsan kinakailangan upang matukoy ang halaga ng anumang arbitrary na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic. Magagawa ito sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagkalkula ng mga halaga ng lahat ng miyembro ng pag-unlad ng aritmetika, simula sa una hanggang sa nais. Gayunpaman, ang landas na ito ay hindi palaging katanggap-tanggap kung, halimbawa, kinakailangan upang mahanap ang halaga ng limang libo o walong milyong termino. Ang mga tradisyonal na kalkulasyon ay aabutin ng maraming oras. Gayunpaman, ang isang tiyak na pag-unlad ng aritmetika ay maaaring pag-aralan gamit ang ilang mga formula. Mayroon ding formula para sa nth term: ang halaga ng anumang termino ng isang arithmetic progression ay maaaring matukoy bilang ang kabuuan ng unang termino ng progression na may pagkakaiba ng progression, na i-multiply sa bilang ng gustong term, na binawasan ng isa.

Ang formula ay pangkalahatan para sa pagtaas at pagbaba ng pag-unlad.

Isang halimbawa ng pagkalkula ng halaga ng isang ibinigay na termino

Ating lutasin ang sumusunod na problema sa paghahanap ng halaga ng ika-n na termino ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Kundisyon: mayroong isang pag-unlad ng arithmetic na may mga parameter:

Ang unang termino ng sequence ay 3;

Ang pagkakaiba sa serye ng numero ay 1.2.

Gawain: kailangan mong hanapin ang halaga ng 214 termino

Solusyon: upang matukoy ang halaga ng isang ibinigay na termino, ginagamit namin ang formula:

a(n) = a1 + d(n-1)

Ang pagpapalit ng data mula sa pahayag ng problema sa expression, mayroon kaming:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6

Sagot: Ang ika-214 na termino ng sequence ay katumbas ng 258.6.

Ang mga bentahe ng pamamaraang ito ng pagkalkula ay halata - ang buong solusyon ay tumatagal ng hindi hihigit sa 2 linya.

Kabuuan ng ibinigay na bilang ng mga termino

Kadalasan, sa isang naibigay na serye ng aritmetika, kinakailangan upang matukoy ang kabuuan ng mga halaga ng ilan sa mga segment nito. Upang gawin ito, hindi na kailangang kalkulahin ang mga halaga ng bawat termino at pagkatapos ay idagdag ang mga ito. Naaangkop ang pamamaraang ito kung maliit ang bilang ng mga termino na kailangang mahanap ang kabuuan. Sa ibang mga kaso, mas maginhawang gamitin ang sumusunod na formula.

Ang kabuuan ng mga termino ng isang pag-unlad ng aritmetika mula 1 hanggang n ay katumbas ng kabuuan ng una at ika-n na termino, na minu-multiply sa bilang ng terminong n at hinati sa dalawa. Kung sa formula ang halaga ng nth term ay pinalitan ng expression mula sa nakaraang talata ng artikulo, makakakuha tayo ng:

Halimbawa ng pagkalkula

Halimbawa, lutasin natin ang isang problema sa mga sumusunod na kondisyon:

Ang unang termino ng sequence ay zero;

Ang pagkakaiba ay 0.5.

Ang problema ay nangangailangan ng pagtukoy sa kabuuan ng mga tuntunin ng serye mula 56 hanggang 101.

Solusyon. Gamitin natin ang formula para sa pagtukoy ng dami ng pag-unlad:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Una, tinutukoy namin ang kabuuan ng mga halaga ng 101 termino ng pag-unlad sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga ibinigay na kondisyon ng aming problema sa formula:

s 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Malinaw, upang malaman ang kabuuan ng mga tuntunin ng pag-unlad mula sa ika-56 hanggang ika-101, kinakailangan na ibawas ang S 55 mula sa S 101.

s 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5

Kaya, ang kabuuan ng pag-unlad ng aritmetika para sa halimbawang ito ay:

s 101 - s 55 = 2,525 - 742.5 = 1,782.5

Halimbawa ng praktikal na aplikasyon ng arithmetic progression

Sa dulo ng artikulo, bumalik tayo sa halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng aritmetika na ibinigay sa unang talata - isang taximeter (metro ng kotse ng taxi). Isaalang-alang natin ang halimbawang ito.

Ang pagsakay sa taxi (na kinabibilangan ng 3 km ng paglalakbay) ay nagkakahalaga ng 50 rubles. Ang bawat kasunod na kilometro ay binabayaran sa rate na 22 rubles/km. Ang distansya ng paglalakbay ay 30 km. Kalkulahin ang halaga ng biyahe.

1. Itapon natin ang unang 3 km, ang presyo nito ay kasama sa halaga ng landing.

30 - 3 = 27 km.

2. Ang karagdagang pagkalkula ay walang iba kundi ang pag-parse ng serye ng numero ng aritmetika.

Numero ng miyembro - ang bilang ng mga kilometrong nilakbay (binawasan ang unang tatlo).

Ang halaga ng miyembro ay ang kabuuan.

Ang unang termino sa problemang ito ay magiging katumbas ng isang 1 = 50 rubles.

Pagkakaiba sa pag-unlad d = 22 r.

ang numerong interesado tayo ay ang halaga ng (27+1)th term ng arithmetic progression - ang meter reading sa dulo ng 27th kilometer ay 27.999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Ang mga kalkulasyon ng data ng kalendaryo para sa isang arbitraryong mahabang panahon ay batay sa mga formula na naglalarawan ng ilang partikular na pagkakasunud-sunod ng numero. Sa astronomiya, ang haba ng orbit ay nakadepende sa geometriko sa distansya ng celestial body sa bituin. Bilang karagdagan, ang iba't ibang serye ng numero ay matagumpay na ginagamit sa mga istatistika at iba pang inilapat na mga lugar ng matematika.

Ang isa pang uri ng pagkakasunod-sunod ng numero ay geometric

Ang pag-unlad ng geometriko ay nailalarawan sa pamamagitan ng mas mataas na mga rate ng pagbabago kumpara sa pag-unlad ng aritmetika. Ito ay hindi nagkataon na sa pulitika, sosyolohiya, at medisina, upang ipakita ang mataas na bilis ng pagkalat ng isang partikular na kababalaghan, halimbawa, isang sakit sa panahon ng isang epidemya, sinasabi nila na ang proseso ay bubuo sa geometric na pag-unlad.

Ang Nth term ng geometric number series ay naiiba mula sa nauna dahil ito ay pinarami ng ilang pare-parehong numero - ang denominator, halimbawa, ang unang termino ay 1, ang denominator ay katumbas ng 2, pagkatapos:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - ang halaga ng kasalukuyang termino ng geometric progression;

b n+1 - formula ng susunod na termino ng geometric progression;

q ang denominator ng geometric progression (isang pare-parehong numero).

Kung ang graph ng isang arithmetic progression ay isang tuwid na linya, kung gayon ang isang geometric progression ay nagpinta ng isang bahagyang naiibang larawan:

Tulad ng sa kaso ng arithmetic, ang geometric progression ay may formula para sa halaga ng isang arbitrary na termino. Anumang nth term ng isang geometric progression ay katumbas ng produkto ng unang termino at ang denominator ng progression sa kapangyarihan ng n na binabawasan ng isa:

Halimbawa. Mayroon kaming geometric progression na ang unang termino ay katumbas ng 3 at ang denominator ng progression ay katumbas ng 1.5. Hanapin natin ang 5th term ng progression

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875

Ang kabuuan ng isang naibigay na bilang ng mga termino ay kinakalkula din gamit ang isang espesyal na formula. Ang kabuuan ng unang n termino ng isang geometric na pag-unlad ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng produkto ng ika-n na termino ng pag-unlad at ang denominator nito at ang unang termino ng pag-unlad, na hinati ng denominator na binawasan ng isa:

Kung papalitan ang b n gamit ang formula na tinalakay sa itaas, ang halaga ng kabuuan ng unang n termino ng serye ng numero na isinasaalang-alang ay kukuha ng anyo:

Halimbawa. Ang geometric progression ay nagsisimula sa unang termino na katumbas ng 1. Ang denominator ay nakatakda sa 3. Hanapin natin ang kabuuan ng unang walong termino.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Arithmetic progression pangalanan ang isang pagkakasunud-sunod ng mga numero (mga tuntunin ng isang pag-unlad)

Kung saan ang bawat kasunod na termino ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng isang bagong termino, na tinatawag ding pagkakaiba ng hakbang o pag-unlad.

Kaya, sa pamamagitan ng pagtukoy sa hakbang ng pag-unlad at ang unang termino nito, mahahanap mo ang alinman sa mga elemento nito gamit ang formula

Mga katangian ng isang pag-unlad ng aritmetika

1) Ang bawat miyembro ng isang arithmetic progression, simula sa pangalawang numero, ay ang arithmetic mean ng nakaraan at susunod na mga miyembro ng progression

Totoo rin ang kabaligtaran. Kung ang arithmetic mean ng katabing odd (even) terms ng isang progression ay katumbas ng term na nasa pagitan ng mga ito, kung gayon ang sequence ng mga numero ay isang arithmetic progression. Gamit ang pahayag na ito, napakadaling suriin ang anumang pagkakasunud-sunod.

Gayundin, sa pamamagitan ng pag-aari ng pag-unlad ng arithmetic, ang formula sa itaas ay maaaring pangkalahatan sa mga sumusunod

Madali itong i-verify kung isusulat mo ang mga tuntunin sa kanan ng equal sign

Madalas itong ginagamit sa pagsasanay upang gawing simple ang mga kalkulasyon sa mga problema.

2) Ang kabuuan ng unang n termino ng isang pag-unlad ng arithmetic ay kinakalkula gamit ang formula

Alalahaning mabuti ang pormula para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika; ito ay kailangang-kailangan sa mga kalkulasyon at kadalasang matatagpuan sa mga simpleng sitwasyon sa buhay.

3) Kung kailangan mong hanapin hindi ang buong kabuuan, ngunit bahagi ng pagkakasunud-sunod simula sa kth term nito, kung gayon ang sumusunod na sum formula ay magiging kapaki-pakinabang sa iyo

4) Ang praktikal na interes ay ang paghahanap ng kabuuan ng n termino ng isang pag-unlad ng aritmetika simula sa kth na numero. Upang gawin ito, gamitin ang formula

Tinatapos nito ang teoretikal na materyal at nagpapatuloy sa paglutas ng mga karaniwang problema sa pagsasanay.

Halimbawa 1. Hanapin ang ikaapatnapung termino ng pag-unlad ng arithmetic 4;7;...

Solusyon:

Ayon sa kondisyon na mayroon tayo

Tukuyin natin ang hakbang ng pag-unlad

Gamit ang isang kilalang formula, makikita natin ang ikaapatnapung termino ng pag-unlad

Halimbawa 2.

Solusyon:

Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng ikatlo at ikapitong termino nito. Hanapin ang unang termino ng progression at ang kabuuan ng sampu.

Isulat natin ang mga ibinigay na elemento ng pag-unlad gamit ang mga formula

Ibinabawas namin ang una mula sa pangalawang equation, bilang isang resulta nakita namin ang hakbang ng pag-unlad

Pinapalitan namin ang nahanap na halaga sa alinman sa mga equation upang mahanap ang unang termino ng pag-unlad ng arithmetic

Kinakalkula namin ang kabuuan ng unang sampung termino ng pag-unlad

Nang hindi gumagamit ng mga kumplikadong kalkulasyon, nakita namin ang lahat ng kinakailangang dami.

Solusyon:

Halimbawa 3. Ang isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinibigay ng denominator at isa sa mga termino nito. Hanapin ang unang termino ng progression, ang kabuuan ng 50 termino nito simula sa 50 at ang kabuuan ng unang 100.

Isulat natin ang formula para sa ika-daang elemento ng progression

at hanapin ang una

Batay sa una, makikita natin ang ika-50 termino ng pag-unlad

Paghahanap ng kabuuan ng bahagi ng pag-unlad

at ang kabuuan ng unang 100

Ang halaga ng pag-unlad ay 250.

Halimbawa 4.

Hanapin ang bilang ng mga termino ng isang pag-unlad ng arithmetic kung:

Solusyon:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Isulat natin ang mga equation sa mga tuntunin ng unang termino at ang hakbang ng pag-unlad at tukuyin ang mga ito

Pinapalitan namin ang mga nakuhang halaga sa sum formula upang matukoy ang bilang ng mga termino sa kabuuan

Nagsasagawa kami ng mga pagpapasimple

at lutasin ang quadratic equation

Sa dalawang halaga na natagpuan, ang numero 8 lamang ang umaangkop sa mga kondisyon ng problema. Kaya, ang kabuuan ng unang walong termino ng pag-unlad ay 111.

Halimbawa 5.

Lutasin ang equation

1+3+5+...+x=307.

Solusyon: Ang equation na ito ay ang kabuuan ng isang arithmetic progression. Isulat natin ang unang termino nito at hanapin ang pagkakaiba sa progreso

Kapag nag-aaral ng algebra sa isang sekondaryang paaralan (ika-9 na baitang), isa sa mga mahalagang paksa ay ang pag-aaral ng mga pagkakasunud-sunod ng numero, na kinabibilangan ng mga pag-unlad - geometric at aritmetika. Sa artikulong ito titingnan natin ang isang pag-unlad ng aritmetika at mga halimbawa na may mga solusyon.

Ano ang isang pag-unlad ng aritmetika?

Upang maunawaan ito, kinakailangang tukuyin ang pag-unlad na pinag-uusapan, gayundin ang pagbibigay ng mga pangunahing pormula na gagamitin sa paglutas ng mga problema.

Gamitin natin ang formula upang matukoy ang hindi kilalang termino: a n = (n - 1) * d + a 1 . Palitan natin ang kilalang data mula sa kundisyon dito, iyon ay, ang mga numero a 1 at 7, mayroon tayo: 18 = 6 + 6 * d. Mula sa expression na ito madali mong makalkula ang pagkakaiba: d = (18 - 6) /6 = 2. Kaya, nasagot namin ang unang bahagi ng problema.

Upang maibalik ang sequence sa ika-7 termino, dapat mong gamitin ang kahulugan ng isang algebraic progression, iyon ay, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, at iba pa. Bilang resulta, ibinabalik namin ang buong sequence: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Halimbawa Blg. 3: pagbubuo ng progreso

Gawin pa natin ang problema. Ngayon kailangan nating sagutin ang tanong kung paano makahanap ng pag-unlad ng aritmetika. Maaaring ibigay ang sumusunod na halimbawa: dalawang numero ang ibinibigay, halimbawa - 4 at 5. Kinakailangang lumikha ng algebraic progression upang tatlo pang termino ang mailagay sa pagitan ng mga ito.

Bago mo simulan ang paglutas ng problemang ito, kailangan mong maunawaan kung anong lugar ang sasakupin ng mga ibinigay na numero sa pag-unlad sa hinaharap. Dahil magkakaroon ng tatlong higit pang mga termino sa pagitan nila, pagkatapos ay isang 1 = -4 at isang 5 = 5. Kapag naitatag ito, nagpapatuloy tayo sa problema, na katulad ng nauna. Muli, para sa nth term na ginagamit namin ang formula, nakukuha namin ang: a 5 = a 1 + 4 * d. Mula sa: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. Ang nakuha namin dito ay hindi isang integer na halaga ng pagkakaiba, ngunit ito ay isang rational na numero, kaya ang mga formula para sa algebraic progression ay nananatiling pareho.

Ngayon, idagdag natin ang nakitang pagkakaiba sa isang 1 at ibalik ang mga nawawalang termino ng pag-unlad. Nakukuha namin ang: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, na nagtutugma sa mga kondisyon ng problema.

Halimbawa Blg. 4: unang termino ng pag-unlad

Patuloy tayong magbigay ng mga halimbawa ng pag-unlad ng aritmetika na may mga solusyon. Sa lahat ng nakaraang problema, ang unang bilang ng algebraic progression ay kilala. Ngayon isaalang-alang natin ang isang problema ng ibang uri: hayaan ang dalawang numero na ibigay, kung saan ang isang 15 = 50 at isang 43 = 37. Ito ay kinakailangan upang mahanap kung aling numero ang sequence na ito ay nagsisimula.

Ang mga formula na ginamit sa ngayon ay ipinapalagay ang kaalaman sa isang 1 at d. Sa pahayag ng problema, walang alam tungkol sa mga numerong ito. Gayunpaman, isusulat namin ang mga expression para sa bawat termino tungkol sa kung aling impormasyon ang makukuha: a 15 = a 1 + 14 * d at a 43 = a 1 + 42 * d. Nakatanggap kami ng dalawang equation kung saan mayroong 2 hindi kilalang dami (a 1 at d). Nangangahulugan ito na ang problema ay nabawasan sa paglutas ng isang sistema ng mga linear equation.

Ang pinakamadaling paraan upang malutas ang sistemang ito ay ang pagpapahayag ng 1 sa bawat equation at pagkatapos ay ihambing ang mga resultang expression. Unang equation: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; pangalawang equation: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Pag-equate ng mga expression na ito, makakakuha tayo ng: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, kung saan ang pagkakaiba d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (3 decimal place lang ang binigay).

Alam ang d, maaari mong gamitin ang alinman sa 2 expression sa itaas para sa isang 1. Halimbawa, una: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

Kung mayroon kang mga pagdududa tungkol sa resulta na nakuha, maaari mong suriin ito, halimbawa, matukoy ang ika-43 na termino ng pag-unlad, na tinukoy sa kondisyon. Nakukuha namin ang: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. Ang maliit na error ay dahil sa ang katunayan na ang rounding sa thousandths ay ginamit sa mga kalkulasyon.

Halimbawa Blg. 5: halaga

Ngayon tingnan natin ang ilang mga halimbawa na may mga solusyon para sa kabuuan ng isang pag-unlad ng arithmetic.

Hayaang magbigay ng numerical progression ng sumusunod na form: 1, 2, 3, 4, ...,. Paano makalkula ang kabuuan ng 100 ng mga numerong ito?

Salamat sa pag-unlad ng teknolohiya ng computer, posible na malutas ang problemang ito, iyon ay, idagdag ang lahat ng mga numero nang sunud-sunod, na gagawin ng computer sa sandaling pinindot ng isang tao ang Enter key. Gayunpaman, ang problema ay maaaring malutas sa pag-iisip kung bibigyan mo ng pansin ang katotohanan na ang ipinakita na serye ng mga numero ay isang algebraic progression, at ang pagkakaiba nito ay katumbas ng 1. Ang paglalapat ng formula para sa kabuuan, makakakuha tayo ng: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang problemang ito ay tinatawag na "Gaussian" dahil sa simula ng ika-18 siglo ang sikat na Aleman, 10 taong gulang pa lamang, ay nagawang lutasin ito sa kanyang ulo sa loob ng ilang segundo. Hindi alam ng batang lalaki ang pormula para sa kabuuan ng isang algebraic progression, ngunit napansin niya na kung idaragdag mo ang mga numero sa dulo ng sequence sa mga pares, palagi kang makakakuha ng parehong resulta, iyon ay, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., at dahil ang mga kabuuan na ito ay magiging eksaktong 50 (100/2), kung gayon para makuha ang tamang sagot, sapat na upang i-multiply ang 50 sa 101.

Halimbawa Blg. 6: kabuuan ng mga termino mula n hanggang m

Ang isa pang tipikal na halimbawa ng kabuuan ng isang pag-unlad ng aritmetika ay ang sumusunod: binigyan ng serye ng mga numero: 3, 7, 11, 15, ..., kailangan mong hanapin kung ano ang magiging katumbas ng kabuuan ng mga termino nito mula 8 hanggang 14 sa .

Ang problema ay nalutas sa dalawang paraan. Ang una sa mga ito ay nagsasangkot ng paghahanap ng mga hindi kilalang termino mula 8 hanggang 14, at pagkatapos ay pagbubuod ng mga ito nang sunud-sunod. Dahil kakaunti ang mga termino, ang pamamaraang ito ay hindi masyadong labor-intensive. Gayunpaman, iminungkahi na lutasin ang problemang ito gamit ang pangalawang paraan, na mas pangkalahatan.

Ang ideya ay upang makakuha ng isang formula para sa kabuuan ng algebraic progression sa pagitan ng mga terminong m at n, kung saan ang n > m ay mga integer. Para sa parehong mga kaso, sumulat kami ng dalawang expression para sa kabuuan:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Dahil n > m, halatang kasama sa 2nd sum ang una. Ang huling konklusyon ay nangangahulugan na kung kukunin natin ang pagkakaiba sa pagitan ng mga kabuuan na ito at idagdag ang terminong a m dito (sa kaso ng pagkuha ng pagkakaiba, ito ay ibabawas mula sa kabuuan S n), makukuha natin ang kinakailangang sagot sa problema. Mayroon kaming: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + isang m * (1- m/2). Kinakailangang palitan ang mga formula para sa a n at a m sa expression na ito. Pagkatapos ay makukuha natin ang: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Ang resultang formula ay medyo mahirap, gayunpaman, ang kabuuan ng S mn ay nakasalalay lamang sa n, m, a 1 at d. Sa aming kaso, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Ang pagpapalit sa mga numerong ito, makakakuha tayo ng: S mn = 301.

Tulad ng makikita mula sa mga solusyon sa itaas, ang lahat ng mga problema ay batay sa kaalaman sa expression para sa ika-n na termino at ang formula para sa kabuuan ng hanay ng mga unang termino. Bago simulan ang paglutas ng alinman sa mga problemang ito, inirerekomenda na maingat mong basahin ang kondisyon, malinaw na maunawaan kung ano ang kailangan mong hanapin, at pagkatapos ay magpatuloy sa solusyon.

Ang isa pang tip ay upang magsikap para sa pagiging simple, iyon ay, kung masasagot mo ang isang tanong nang hindi gumagamit ng kumplikadong mga kalkulasyon sa matematika, kailangan mong gawin iyon, dahil sa kasong ito ang posibilidad na magkamali ay mas mababa. Halimbawa, sa halimbawa ng isang pag-unlad ng arithmetic na may solusyon No. 6, maaaring huminto ang isa sa formula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, at hatiin ang pangkalahatang problema sa magkakahiwalay na mga subtask (sa kasong ito, hanapin muna ang mga terminong a n at a m).

Kung mayroon kang mga pagdududa tungkol sa resulta na nakuha, inirerekumenda na suriin ito, tulad ng ginawa sa ilan sa mga halimbawang ibinigay. Nalaman namin kung paano maghanap ng pag-unlad ng aritmetika. Kung naisip mo ito, hindi ito mahirap.

Halimbawa, ang sequence \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); Ang \(14\)... ay isang pag-unlad ng aritmetika, dahil ang bawat kasunod na elemento ay naiiba sa nauna nang tatlo (maaaring makuha mula sa nauna sa pamamagitan ng pagdaragdag ng tatlo):

Sa pag-unlad na ito, ang pagkakaiba \(d\) ay positibo (katumbas ng \(3\)), at samakatuwid ang bawat susunod na termino ay mas malaki kaysa sa nauna. Ang ganitong mga pag-unlad ay tinatawag dumarami.

Gayunpaman, ang \(d\) ay maaari ding negatibong numero. Halimbawa, sa arithmetic progression \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... ang progression difference \(d\) ay katumbas ng minus anim.

At sa kasong ito, ang bawat susunod na elemento ay magiging mas maliit kaysa sa nauna. Ang mga pag-unlad na ito ay tinatawag bumababa.

Arithmetic progression notation

Ang pag-unlad ay ipinahiwatig ng isang maliit na titik ng Latin.

Tinatawag ang mga numerong bumubuo ng progression mga miyembro(o mga elemento).

Ang mga ito ay tinutukoy ng parehong titik bilang isang pag-unlad ng aritmetika, ngunit may isang numerical index na katumbas ng bilang ng elemento sa pagkakasunud-sunod.

Halimbawa, ang arithmetic progression \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) ay binubuo ng mga elementong \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) at iba pa.

Sa madaling salita, para sa pag-unlad \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

Paglutas ng mga problema sa pag-unlad ng aritmetika

Sa prinsipyo, ang impormasyong ipinakita sa itaas ay sapat na upang malutas ang halos anumang problema sa pag-unlad ng aritmetika (kabilang ang mga inaalok sa OGE).

Halimbawa (OGE). Ang pag-unlad ng arithmetic ay tinukoy ng mga kundisyon \(b_1=7; d=4\). Hanapin ang \(b_5\).
Solusyon:

Sagot: \(b_5=23\)

Halimbawa (OGE). Ang unang tatlong termino ng isang pag-unlad ng aritmetika ay ibinigay: \(62; 49; 36…\) Hanapin ang halaga ng unang negatibong termino ng pag-usad na ito..
Solusyon:

Sagot: \(-3\)

Halimbawa (OGE). Dahil sa ilang magkakasunod na elemento ng isang pag-unlad ng aritmetika: \(...5; x; 10; 12.5...\) Hanapin ang halaga ng elementong itinalaga ng titik \(x\).
Solusyon:

Sagot: \(7,5\).

Halimbawa (OGE). Ang pag-unlad ng arithmetic ay tinukoy ng mga sumusunod na kondisyon: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Hanapin ang kabuuan ng unang anim na termino ng progression na ito.
Solusyon:

Sagot: \(S_6=9\).

Halimbawa (OGE). Sa arithmetic progression \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Hanapin ang pagkakaiba ng pag-unlad na ito.
Solusyon:

Sagot: \(d=7\).

Mahahalagang formula para sa pag-unlad ng aritmetika

Tulad ng nakikita mo, maraming mga problema sa pag-unlad ng aritmetika ay maaaring malutas sa pamamagitan lamang ng pag-unawa sa pangunahing bagay - na ang isang pag-unlad ng aritmetika ay isang hanay ng mga numero, at ang bawat kasunod na elemento sa chain na ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ng parehong numero sa nauna (ang pagkakaiba ng pag-unlad).

Gayunpaman, kung minsan may mga sitwasyon kung kailan ang pagpapasya sa "head-on" ay napaka-inconvenient. Halimbawa, isipin na sa pinakaunang halimbawa kailangan nating hanapin hindi ang ikalimang elemento \(b_5\), ngunit ang tatlong daan at walumpu't anim na \(b_(386)\). Dapat ba tayong magdagdag ng apat na \(385\) beses? O isipin na sa penultimate na halimbawa kailangan mong hanapin ang kabuuan ng unang pitumpu't tatlong elemento. Mapapagod ka magbilang...

Samakatuwid, sa ganitong mga kaso hindi nila nilulutas ang mga bagay na "head-on", ngunit gumagamit ng mga espesyal na formula na nagmula para sa pag-unlad ng aritmetika. At ang mga pangunahing ay ang pormula para sa ika-n na termino ng pag-unlad at ang pormula para sa kabuuan ng \(n\) mga unang termino.

Formula ng \(n\)th term: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kung saan ang \(a_1\) ay ang unang termino ng progression;
\(n\) – numero ng kinakailangang elemento;
\(a_n\) – termino ng progression na may numerong \(n\).

Ang formula na ito ay nagbibigay-daan sa amin upang mabilis na mahanap kahit na ang tatlong-daan o ang ika-milyong elemento, alam lamang ang una at ang pagkakaiba ng pag-unlad.

Halimbawa. Ang pag-unlad ng arithmetic ay tinukoy ng mga kondisyon: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). Hanapin ang \(b_(246)\).
Solusyon:

Sagot: \(b_(246)=1850\).

Formula para sa kabuuan ng unang n termino: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kung saan

\(a_n\) – ang huling summed term;

Halimbawa (OGE). Ang pag-unlad ng arithmetic ay tinukoy ng mga kondisyon \(a_n=3.4n-0.6\). Hanapin ang kabuuan ng unang \(25\) mga tuntunin ng pag-usad na ito.
Solusyon:

Sagot: \(S_(25)=1090\).

Para sa kabuuan ng \(n\) ng mga unang termino, maaari kang makakuha ng isa pang formula: kailangan mo lang na \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) sa halip na \(a_n\) palitan ang formula para dito \(a_n=a_1+(n-1)d\). Nakukuha namin:

Formula para sa kabuuan ng unang n termino: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kung saan

\(S_n\) – ang kinakailangang kabuuan ng \(n\) unang elemento;
\(a_1\) – ang unang summed term;
\(d\) – pagkakaiba sa pag-unlad;
\(n\) – bilang ng mga elemento sa kabuuan.

Halimbawa. Hanapin ang kabuuan ng unang \(33\)-ex terms ng arithmetic progression: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
Solusyon:

Sagot: \(S_(33)=-231\).

Mas kumplikadong mga problema sa pag-unlad ng aritmetika

Ngayon ay mayroon ka ng lahat ng impormasyon na kailangan mo upang malutas ang halos anumang problema sa pag-unlad ng aritmetika. Tapusin natin ang paksa sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang ng mga problema kung saan hindi mo lamang kailangan mag-apply ng mga formula, ngunit mag-isip din ng kaunti (sa matematika ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang ☺)

Halimbawa (OGE). Hanapin ang kabuuan ng lahat ng negatibong termino ng progression: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
Solusyon:

Sagot: \(S_(65)=-630.5\).

Halimbawa (OGE). Ang pag-unlad ng arithmetic ay tinukoy ng mga kondisyon: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Hanapin ang kabuuan mula sa \(26\)th hanggang sa \(42\) element inclusive.
Solusyon:

Sagot: \(S=1683\).

Para sa pag-unlad ng aritmetika, may ilan pang mga formula na hindi namin isinasaalang-alang sa artikulong ito dahil sa kanilang mababang praktikal na pagiging kapaki-pakinabang. Gayunpaman, madali mong mahahanap ang mga ito.