Kung saan ang tangent sa graph ng function ay parallel sa linya. Tangent sa graph ng isang function sa isang punto

Entry level

Equation ng isang tangent sa graph ng isang function. The Comprehensive Guide (2019)

Alam mo na ba kung ano ang derivative? Kung hindi, basahin muna ang paksa. So sabi mo alam mo yung derivative. Suriin natin ngayon. Hanapin ang increment ng function kapag ang increment ng argument ay katumbas ng. Nakaya mo ba? Dapat itong gumana. Ngayon hanapin ang derivative ng function sa isang punto. Sagot: . gumana ba? Kung mayroon kang anumang mga paghihirap sa alinman sa mga halimbawang ito, lubos kong inirerekomenda na bumalik ka sa paksa at pag-aralan itong muli. Alam kong napakalaki ng paksa, ngunit kung hindi man ay wala nang saysay na magpatuloy pa. Isaalang-alang ang graph ng ilang function:

Pumili tayo ng isang tiyak na punto sa linya ng graph. Hayaan ang abscissa nito, kung gayon ang ordinate ay pantay. Pagkatapos ay pipiliin namin ang punto na may abscissa malapit sa punto; ang ordinate nito ay:

Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya sa mga puntong ito. Ito ay tinatawag na secant (tulad ng sa geometry). Tukuyin natin ang anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya sa axis bilang. Tulad ng sa trigonometrya, ang anggulong ito ay sinusukat mula sa positibong direksyon ng x-axis na pakaliwa. Anong mga halaga ang maaaring kunin ng anggulo? Kahit paano mo ikiling ang tuwid na linyang ito, mananatili pa rin ang kalahati. Samakatuwid, ang pinakamataas na posibleng anggulo ay , at ang pinakamababang posibleng anggulo ay . Ibig sabihin, . Ang anggulo ay hindi kasama, dahil ang posisyon ng tuwid na linya sa kasong ito ay eksaktong nag-tutugma sa, at ito ay mas lohikal na pumili ng isang mas maliit na anggulo. Kumuha tayo ng isang punto sa figure na ang tuwid na linya ay parallel sa abscissa axis at ang a ay ang ordinate axis:

Mula sa pigura makikita na, a. Pagkatapos ang ratio ng mga pagtaas ay:

(dahil ito ay hugis-parihaba).

Bawasan natin ngayon. Pagkatapos ang punto ay lalapit sa punto. Kapag ito ay naging infinitesimal, ang ratio ay magiging katumbas ng derivative ng function sa punto. Ano ang mangyayari sa secant? Ang punto ay magiging walang katapusang malapit sa punto, upang sila ay maituturing na parehong punto. Ngunit ang isang tuwid na linya na mayroon lamang isang karaniwang punto na may kurba ay walang iba kundi padaplis(sa kasong ito, ang kundisyong ito ay natutugunan lamang sa isang maliit na lugar - malapit sa punto, ngunit ito ay sapat na). Sinasabi nila na sa kasong ito ang secant ay tumatagal limitahan ang posisyon.

Tawagan natin ang anggulo ng inclination ng secant sa axis. Pagkatapos ito ay lumiliko out na ang derivative

iyon ay ang derivative ay katumbas ng tangent ng anggulo ng inclination ng tangent sa graph ng function sa isang naibigay na punto.

Dahil ang isang tangent ay isang linya, tandaan natin ngayon ang equation ng isang linya:

Ano ang responsable para sa koepisyent? Para sa slope ng tuwid na linya. Ito ang tawag dito: dalisdis. Ano ang ibig sabihin nito? At ang katotohanan na ito ay katumbas ng tangent ng anggulo sa pagitan ng tuwid na linya at ng axis! Kaya ito ang mangyayari:

Ngunit nakuha namin ang panuntunang ito sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa pagtaas ng function. Ano ang magbabago kung ang pagpapaandar ay bumababa? Tingnan natin:
Ngayon ang mga anggulo ay malabo. At ang pagtaas ng function ay negatibo. Isaalang-alang natin muli: . Sa kabilang panig, . Nakukuha namin ang: , ibig sabihin, ang lahat ay pareho sa huling pagkakataon. Muli nating idirekta ang punto sa punto, at ang secant ay kukuha ng isang limitadong posisyon, iyon ay, ito ay magiging isang tangent sa graph ng function sa punto. Kaya, bumalangkas tayo ng panghuling tuntunin:
Ang derivative ng isang function sa isang partikular na punto ay katumbas ng tangent ng anggulo ng inclination ng tangent sa graph ng function sa puntong ito, o (na pareho) ang slope ng tangent na ito:

Ito na geometric na kahulugan ng derivative. Okay, lahat ng ito ay kawili-wili, ngunit bakit kailangan natin ito? Dito halimbawa:
Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng isang function at isang tangent dito sa abscissa point. Hanapin ang halaga ng derivative ng function sa isang punto.
Solusyon.
Tulad ng nalaman natin kamakailan, ang halaga ng derivative sa punto ng tangency ay katumbas ng slope ng tangent, na kung saan ay katumbas ng tangent ng anggulo ng inclination ng tangent na ito sa abscissa axis: . Nangangahulugan ito na upang mahanap ang halaga ng derivative kailangan nating hanapin ang tangent ng tangent angle. Sa figure ay minarkahan namin ang dalawang puntos na nakahiga sa tangent, ang mga coordinate na kung saan ay kilala sa amin. Kaya't kumpletuhin natin ang pagbuo ng isang tamang tatsulok na dumadaan sa mga puntong ito at hanapin ang padaplis ng padaplis na anggulo!

Ang anggulo ng pagkahilig ng padaplis sa axis ay. Hanapin natin ang padaplis ng anggulong ito: . Kaya, ang derivative ng function sa isang punto ay katumbas ng.
Sagot:. Ngayon subukan ito sa iyong sarili:

Mga sagot:

Alam geometric na kahulugan ng derivative, maaari nating ipaliwanag nang simple ang panuntunan na ang derivative sa punto ng lokal na maximum o minimum ay katumbas ng zero. Sa katunayan, ang tangent sa graph sa mga puntong ito ay "pahalang", iyon ay, parallel sa x-axis:

Ano ang anggulo sa pagitan ng mga parallel na linya? Syempre, zero! At ang tangent ng zero ay zero din. Kaya ang derivative ay katumbas ng zero:

Magbasa nang higit pa tungkol dito sa paksang "Monotonicity ng mga pag-andar. Extremum points."

Ngayon, tumuon tayo sa mga di-makatwirang tangent. Sabihin nating mayroon tayong ilang function, halimbawa, . Iginuhit namin ang graph nito at nais na gumuhit ng tangent dito sa isang punto. Halimbawa, sa isang punto. Kumuha kami ng isang ruler, ilakip ito sa graph at gumuhit:

Ano ang alam natin tungkol sa linyang ito? Ano ang pinakamahalagang bagay na dapat malaman tungkol sa isang linya sa isang coordinate plane? Dahil ang isang tuwid na linya ay isang imahe ng isang linear function, ito ay magiging napaka-maginhawa upang malaman ang equation nito. Iyon ay, ang mga coefficient sa equation

Pero alam na natin! Ito ang slope ng tangent, na katumbas ng derivative ng function sa puntong iyon:

Sa aming halimbawa ito ay magiging ganito:

Ngayon ang natitira na lang ay hanapin ito. Ito ay kasing simple ng paghihimay ng peras: pagkatapos ng lahat - ang halaga ng. Sa graphically, ito ang coordinate ng intersection ng linya na may ordinate axis (pagkatapos ng lahat, sa lahat ng mga punto ng axis):

Iguhit natin ito (para ito ay hugis-parihaba). Pagkatapos (sa parehong anggulo sa pagitan ng tangent at ng x-axis). Ano ang at katumbas ng? Ang figure ay malinaw na nagpapakita na, a. Pagkatapos makuha namin:

Pinagsasama namin ang lahat ng nakuha na mga formula sa equation ng isang tuwid na linya:

Ngayon magpasya para sa iyong sarili:

1. Hanapin tangent equation sa isang function sa isang punto.
2. Ang padaplis sa isang parabola ay nag-intersect sa axis sa isang anggulo. Hanapin ang equation ng tangent na ito.
3. Ang linya ay parallel sa tangent sa graph ng function. Hanapin ang abscissa ng tangent point.
4. Ang linya ay parallel sa tangent sa graph ng function. Hanapin ang abscissa ng tangent point.

Mga solusyon at sagot:

EQUATION NG ISANG TANGENT SA GRAPH NG ISANG FUNCTION. MAIKLING PAGLALARAWAN AT MGA BATAYANG FORMULA

Ang derivative ng isang function sa isang partikular na punto ay katumbas ng tangent ng tangent sa graph ng function sa puntong ito, o ang slope ng tangent na ito:

Equation ng tangent sa graph ng isang function sa isang punto:

Algorithm para sa paghahanap ng tangent equation:

Well, tapos na ang topic. Kung binabasa mo ang mga linyang ito, ibig sabihin ay napaka-cool mo.

Dahil 5% lamang ng mga tao ang nakakabisa ng isang bagay sa kanilang sarili. At kung magbabasa ka hanggang sa huli, ikaw ay nasa 5% na ito!

Ngayon ang pinakamahalagang bagay.

Naunawaan mo ang teorya sa paksang ito. At, inuulit ko, ito... super lang! Mas mahusay ka na kaysa sa karamihan ng iyong mga kapantay.

Ang problema ay maaaring hindi ito sapat...

Para saan?

Para sa matagumpay na pagpasa sa Unified State Exam, para sa pagpasok sa kolehiyo sa isang badyet at, PINAKA MAHALAGA, habang buhay.

Hindi kita kukumbinsihin sa anumang bagay, isa lang ang sasabihin ko...

Ang mga taong nakatanggap ng magandang edukasyon ay kumikita ng higit pa kaysa sa mga hindi nakatanggap nito. Ito ay mga istatistika.

Ngunit hindi ito ang pangunahing bagay.

Ang pangunahing bagay ay MAS MASAYA sila (may mga ganyang pag-aaral). Marahil dahil marami pang pagkakataon ang nagbubukas sa harap nila at ang buhay ay nagiging mas maliwanag? hindi ko alam...

Pero isipin mo ang sarili mo...

Ano ang kailangan para makasiguradong maging mas mahusay kaysa sa iba sa Unified State Exam at sa huli ay... mas masaya?

AGAIN ANG IYONG KAMAY SA PAGLUTAS NG MGA PROBLEMA SA PAKSANG ITO.

Hindi ka hihilingin ng teorya sa panahon ng pagsusulit.

Kakailanganin mo lutasin ang mga problema laban sa oras.

At, kung hindi mo pa nalutas ang mga ito (MARAMING!), tiyak na makakagawa ka ng isang hangal na pagkakamali sa isang lugar o hindi magkakaroon ng oras.

Parang sa sports - kailangan mong ulitin ng maraming beses para siguradong manalo.

Hanapin ang koleksyon kahit saan mo gusto, kinakailangang may mga solusyon, detalyadong pagsusuri at magpasya, magpasya, magpasya!

Maaari mong gamitin ang aming mga gawain (opsyonal) at, siyempre, inirerekomenda namin ang mga ito.

Upang maging mas mahusay sa paggamit ng aming mga gawain, kailangan mong tumulong na palawigin ang buhay ng YouClever textbook na kasalukuyan mong binabasa.

Paano? Mayroong dalawang mga pagpipilian:

1. I-unlock ang lahat ng mga nakatagong gawain sa artikulong ito - 299 kuskusin.
2. I-unlock ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain sa lahat ng 99 na artikulo ng aklat-aralin - 999 kuskusin.

Oo, mayroon kaming 99 na ganoong mga artikulo sa aming aklat-aralin at ang access sa lahat ng mga gawain at lahat ng mga nakatagong teksto sa mga ito ay mabubuksan kaagad.

Sa pangalawang kaso bibigyan ka namin simulator "6000 mga problema sa mga solusyon at sagot, para sa bawat paksa, sa lahat ng antas ng pagiging kumplikado." Ito ay tiyak na sapat upang makuha ang iyong mga kamay sa paglutas ng mga problema sa anumang paksa.

Sa katunayan, ito ay higit pa sa isang simulator - isang buong programa ng pagsasanay. Kung kinakailangan, maaari mo ring gamitin ito nang LIBRE.

Ang access sa lahat ng mga teksto at programa ay ibinibigay para sa BUONG panahon ng pagkakaroon ng site.

At sa konklusyon...

Kung hindi mo gusto ang aming mga gawain, maghanap ng iba. Huwag lamang tumigil sa teorya.

Ang "Naiintindihan" at "Maaari kong malutas" ay ganap na magkaibang mga kasanayan. Kailangan mo pareho.

Maghanap ng mga problema at lutasin ang mga ito!

Mga tagubilin

Tinutukoy namin ang angular coefficient ng tangent sa curve sa point M.
Ang curve na kumakatawan sa graph ng function na y = f(x) ay tuloy-tuloy sa isang partikular na kapitbahayan ng point M (kabilang ang point M mismo).

Kung ang halaga f'(x0) ay wala, kung gayon ay walang tangent, o ito ay tumatakbo nang patayo. Dahil dito, ang pagkakaroon ng derivative ng function sa point x0 ay dahil sa pagkakaroon ng non-vertical tangent tangent sa graph ng function sa point (x0, f(x0)). Sa kasong ito, ang angular coefficient ng tangent ay magiging katumbas ng f "(x0). Kaya, ang geometric na kahulugan ng derivative ay nagiging malinaw - ang pagkalkula ng angular coefficient ng tangent.

Hanapin ang halaga ng abscissa ng tangent point, na tinutukoy ng titik na "a". Kung ito ay nag-tutugma sa isang binigay na tangent point, kung gayon ang "a" ang magiging x-coordinate nito. Tukuyin ang halaga mga function f(a) sa pamamagitan ng pagpapalit sa equation mga function halaga ng abscissa.

Tukuyin ang unang derivative ng equation mga function f'(x) at palitan ang halaga ng puntong "a" dito.

Kunin ang pangkalahatang tangent equation, na tinukoy bilang y = f(a) = f (a)(x – a), at palitan ang mga nahanap na halaga ng a, f(a), f "(a) dito. Bilang resulta, ang solusyon sa graph ay makikita at padaplis.

Lutasin ang problema sa ibang paraan kung ang ibinigay na tangent point ay hindi tumutugma sa tangent point. Sa kasong ito, kinakailangan na palitan ang "a" sa halip na mga numero sa tangent equation. Pagkatapos nito, sa halip na mga titik na "x" at "y", palitan ang halaga ng mga coordinate ng ibinigay na punto. Lutasin ang resultang equation kung saan ang "a" ay hindi alam. Isaksak ang resultang halaga sa tangent equation.

Sumulat ng isang equation para sa isang tangent na may titik "a" kung ang pahayag ng problema ay tumutukoy sa equation mga function at ang equation ng isang parallel line na may kaugnayan sa nais na padaplis. Pagkatapos nito kailangan natin ang derivative mga function, sa coordinate sa puntong “a”. Palitan ang naaangkop na halaga sa tangent equation at lutasin ang function.

Padaplis ay isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto sa kurba at kasabay nito sa puntong ito hanggang sa unang pagkakasunud-sunod (Larawan 1).

Isa pang kahulugan: ito ang naglilimitang posisyon ng secant sa Δ x→0.

Paliwanag: Kumuha ng isang tuwid na linya na nagsasalubong sa kurba sa dalawang punto: A At b(tingnan ang larawan). Ito ay isang secant. Iikot namin ito nang sunud-sunod hanggang sa makahanap lamang ito ng isang karaniwang punto na may kurba. Bibigyan tayo nito ng tangent.

Mahigpit na kahulugan ng tangent:

Tangent sa graph ng isang function f, naiba sa punto xO, ay isang tuwid na linya na dumadaan sa punto ( xO; f(xO)) at pagkakaroon ng slope f′( xO).

Ang slope ay may tuwid na linya ng anyo y=kx +b. Coefficient k at ay dalisdis itong tuwid na linya.

Ang angular coefficient ay katumbas ng tangent ng matinding anggulo na nabuo ng tuwid na linyang ito na may abscissa axis:

k = tan α

Narito ang anggulo α ay ang anggulo sa pagitan ng tuwid na linya y=kx +b at positibo (iyon ay, counterclockwise) na direksyon ng x-axis. Ito ay tinatawag anggulo ng pagkahilig ng isang tuwid na linya(Larawan 1 at 2).

Kung ang anggulo ng pagkahilig ay tuwid y=kx +b talamak, kung gayon ang slope ay isang positibong numero. Ang graph ay tumataas (Fig. 1).

Kung ang anggulo ng pagkahilig ay tuwid y=kx +b ay mahina, kung gayon ang slope ay isang negatibong numero. Bumababa ang graph (Fig. 2).

Kung ang tuwid na linya ay parallel sa x-axis, kung gayon ang anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya ay zero. Sa kasong ito, ang slope ng linya ay zero din (dahil ang tangent ng zero ay zero). Ang equation ng tuwid na linya ay magmumukhang y = b (Larawan 3).

Kung ang anggulo ng pagkahilig ng isang tuwid na linya ay 90º (π/2), iyon ay, ito ay patayo sa abscissa axis, kung gayon ang tuwid na linya ay ibinibigay ng pagkakapantay-pantay. x =c, Saan c– ilang totoong numero (Larawan 4).

Equation ng tangent sa graph ng isang functiony = f(x) sa punto xO:

Halimbawa: Hanapin ang equation ng tangent sa graph ng function f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 sa puntong may abscissa 2.

Solusyon .

Sinusunod namin ang algorithm.

1) Touch point xO ay katumbas ng 2. Kalkulahin f(xO):

f(xO) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1

2) Hanapin f′( x). Upang gawin ito, inilalapat namin ang mga formula ng pagkita ng kaibhan na nakabalangkas sa nakaraang seksyon. Ayon sa mga formula na ito, X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Ibig sabihin:

f′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.

Ngayon, gamit ang resultang halaga f′( x), kalkulahin f′( xO):

f′( xO) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.

3) Kaya, mayroon kaming lahat ng kinakailangang data: xO = 2, f(xO) = 1, f ′( xO) = 4. I-substitute ang mga numerong ito sa tangent equation at hanapin ang huling solusyon:

y = f(xO) + f′( xO) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x – 2) = 1 + 4x – 8 = –7 + 4x = 4x – 7.

Sagot: y = 4x – 7.

Ang aralin sa video na "Equation ng isang tangent sa graph ng isang function" ay nagpapakita ng materyal na pang-edukasyon para sa mastering ng paksa. Sa panahon ng aralin sa video, ang teoretikal na materyal na kinakailangan upang bumalangkas ng konsepto ng equation ng isang tangent sa graph ng isang function sa isang naibigay na punto, isang algorithm para sa paghahanap ng naturang tangent, at mga halimbawa ng paglutas ng mga problema gamit ang pinag-aralan na teoretikal na materyal ay inilarawan. .

Gumagamit ang video tutorial ng mga pamamaraan na nagpapahusay sa kalinawan ng materyal. Ang pagtatanghal ay naglalaman ng mga guhit, diagram, mahahalagang komento ng boses, animation, pag-highlight at iba pang mga tool.

Ang video lesson ay nagsisimula sa isang presentasyon ng paksa ng aralin at isang imahe ng isang tangent sa graph ng ilang function na y=f(x) sa puntong M(a;f(a)). Alam na ang angular coefficient ng tangent na naka-plot sa graph sa isang naibigay na punto ay katumbas ng derivative ng function na f΄(a) sa puntong ito. Mula din sa kursong algebra alam natin ang equation ng tuwid na linya y=kx+m. Ang solusyon sa problema ng paghahanap ng tangent equation sa isang punto ay schematically na ipinakita, na binabawasan sa paghahanap ng mga coefficient k, m. Ang pag-alam sa mga coordinate ng isang punto na kabilang sa graph ng function, mahahanap natin ang m sa pamamagitan ng pagpapalit ng halaga ng coordinate sa tangent equation f(a)=ka+m. Mula dito makikita natin ang m=f(a)-ka. Kaya, ang pag-alam sa halaga ng derivative sa isang naibigay na punto at ang mga coordinate ng punto, maaari nating katawanin ang tangent equation sa ganitong paraan y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Ang sumusunod ay isang halimbawa ng pagbuo ng tangent equation kasunod ng diagram. Ibinigay ang function na y=x 2 , x=-2. Sa pagkuha ng a=-2, makikita natin ang halaga ng function sa isang ibinigay na punto f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Tinutukoy namin ang derivative ng function f΄(x)=2x. Sa puntong ito ang derivative ay katumbas ng f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Upang mabuo ang equation, lahat ng coefficients a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 ay natagpuan, kaya ang tangent equation ay y=4+(-4)(x+2). Pinasimple ang equation, nakukuha natin ang y = -4-4x.

Ang sumusunod na halimbawa ay nagmumungkahi ng pagbuo ng isang equation para sa tangent sa pinanggalingan sa graph ng function na y=tgx. Sa isang ibinigay na punto a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Kaya ang tangent equation ay mukhang y=x.

Bilang isang pangkalahatan, ang proseso ng pagbuo ng isang equation tangent sa graph ng isang function sa isang tiyak na punto ay pormal sa anyo ng isang algorithm na binubuo ng 4 na hakbang:

• Ipasok ang pagtatalaga a para sa abscissa ng tangent point;
• f(a) ay kinakalkula;
• Ang f΄(x) ay tinutukoy at ang f΄(a) ay kinakalkula. Ang mga nahanap na halaga ng a, f(a), f΄(a) ay pinapalitan sa tangent equation formula y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Halimbawa 1 ay isinasaalang-alang ang pagbuo ng tangent equation sa graph ng function na y=1/x sa punto x=1. Upang malutas ang problema, gumagamit kami ng isang algorithm. Para sa isang ibinigay na function sa punto a=1, ang halaga ng function f(a)=-1. Derivative ng function f΄(x)=1/x 2. Sa puntong a=1 ang derivative f΄(a)= f΄(1)=1. Gamit ang data na nakuha, ang tangent equation na y=-1+(x-1), o y=x-2, ay iginuhit.

Sa halimbawa 2, kinakailangan upang mahanap ang equation ng tangent sa graph ng function na y=x 3 +3x 2 -2x-2. Ang pangunahing kondisyon ay ang parallelism ng tangent at tuwid na linya y=-2x+1. Una, nakita natin ang angular coefficient ng tangent, katumbas ng angular coefficient ng tuwid na linya y=-2x+1. Dahil f΄(a)=-2 para sa isang naibigay na linya, kung gayon k=-2 para sa nais na padaplis. Nahanap natin ang derivative ng function (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Alam na f΄(a)=-2, nakita natin ang mga coordinate ng point 3a 2 +6a-2=-2. Nang malutas ang equation, makakakuha tayo ng 1 =0, at 2 =-2. Gamit ang nahanap na mga coordinate, mahahanap mo ang tangent equation gamit ang isang kilalang algorithm. Nahanap namin ang halaga ng function sa mga puntos na f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. Ang halaga ng derivative sa punto f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Ang pagpapalit ng mga nahanap na halaga sa tangent equation, nakuha namin para sa unang punto a 1 =0 y=-2x-2, at para sa pangalawang punto a 2 =-2 ang tangent equation y=-2x-22.

Inilalarawan ng Halimbawa 3 ang komposisyon ng tangent equation para sa pagguhit nito sa punto (0;3) sa graph ng function na y=√x. Ang solusyon ay ginawa gamit ang isang kilalang algorithm. Ang tangent point ay may mga coordinate x=a, kung saan a>0. Ang halaga ng function sa punto f(a)=√x. Ang derivative ng function f΄(х)=1/2√х, samakatuwid sa isang ibinigay na punto f΄(а)=1/2√а. Ang pagpapalit ng lahat ng nakuhang halaga sa tangent equation, makuha natin ang y = √a + (x-a)/2√a. Pagbabago ng equation, nakukuha natin ang y=x/2√а+√а/2. Alam na ang padaplis ay dumadaan sa punto (0;3), nakita natin ang halaga ng a. Nakahanap kami ng mula sa 3=√a/2. Kaya √a=6, a=36. Nahanap namin ang tangent equation y=x/12+3. Ipinapakita ng figure ang graph ng function na isinasaalang-alang at ang constructed na nais na tangent.

Ang mga mag-aaral ay pinapaalalahanan ng mga tinatayang pagkakapantay-pantay Δy=≈f΄(x)Δxat f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Pagkuha ng x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, nakukuha natin ang f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), kaya f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).

Sa halimbawa 4, kinakailangan upang mahanap ang tinatayang halaga ng expression na 2.003 6. Dahil kinakailangan upang mahanap ang halaga ng function na f(x)=x 6 sa puntong x=2.003, maaari nating gamitin ang kilalang formula, kumukuha ng f(x)=x 6, a=2, f(a )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. Derivative sa puntong f΄(2)=192. Samakatuwid, 2.003 6 ≈65-192·0.003. Sa pagkalkula ng expression, makakakuha tayo ng 2.003 6 ≈64.576.

Ang video lesson na "Equation of a tangent to the graph of a function" ay inirerekomenda para gamitin sa isang tradisyonal na aralin sa matematika sa paaralan. Para sa isang guro na nagtuturo nang malayuan, makakatulong ang materyal sa video na ipaliwanag ang paksa nang mas malinaw. Maaaring irekomenda ang video para sa mga mag-aaral na mag-isa na magrepaso kung kinakailangan upang mapalalim ang kanilang pag-unawa sa paksa.

PAG-DECODE NG TEKSTO:

Alam natin na kung ang isang puntong M (a; f(a)) (em na may mga coordinate a at ef mula sa a) ay kabilang sa graph ng function na y = f (x) at kung sa puntong ito posible na gumuhit ng tangent sa graph ng function na hindi patayo sa axis abscissa, kung gayon ang angular coefficient ng tangent ay katumbas ng f"(a) (eff prime mula sa a).

Hayaang maibigay ang isang function na y = f(x) at isang punto M (a; f(a)), at alam din na umiral ang f´(a). Gumawa tayo ng equation para sa tangent sa graph ng isang ibinigay na function sa isang partikular na punto. Ang equation na ito, tulad ng equation ng anumang tuwid na linya na hindi parallel sa ordinate axis, ay may anyo na y = kx+m (ang y ay katumbas ng ka x plus em), kaya ang gawain ay hanapin ang mga halaga ng ang mga koepisyent k at m (ka at em)

Angle coefficient k= f"(a). Upang kalkulahin ang halaga ng m, ginagamit namin ang katotohanan na ang nais na tuwid na linya ay dumadaan sa puntong M(a; f (a)). Nangangahulugan ito na kung papalitan natin ang mga coordinate ng ituro ang M sa equation ng tuwid na linya, nakuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay : f(a) = ka+m, mula sa kung saan makikita natin na m = f(a) - ka.

Ito ay nananatiling palitan ang mga nahanap na halaga ng mga coefficient na ki at m sa equation ng tuwid na linya:

y = kx+(f(a) -ka);

y = f(a)+k(x-a);

y= f(a)+ f"(a) (x- a). ( y ay katumbas ng ef mula sa isang plus ef prime mula sa a, pinarami ng x minus a).

Nakuha namin ang equation para sa tangent sa graph ng function na y = f(x) sa puntong x=a.

Kung, sabihin nating, y = x 2 at x = -2 (i.e. a = -2), kung gayon f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, na nangangahulugang f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (kung gayon ang ef ng a ay katumbas ng apat, ang ef ng prime ng x ay katumbas ng dalawang x, na nangangahulugang ef prime mula sa isang katumbas ng minus apat)

Ang pagpapalit ng mga nahanap na halaga a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 sa equation, makuha namin ang: y = 4+(-4)(x+2), i.e. y = -4x -4.

(E ay katumbas ng minus apat x minus apat)

Gumawa tayo ng equation para sa tangent sa graph ng function na y = tanx (ang y ay katumbas ng tangent x) sa pinanggalingan. Mayroon kaming: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , na nangangahulugang f"(0) = l. Ang pagpapalit ng mga nahanap na halaga a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 sa equation, nakukuha natin ang: y=x.

Ibuod natin ang ating mga hakbang sa paghahanap ng equation ng tangent sa graph ng isang function sa point x gamit ang isang algorithm.

ALGORITHM PARA SA PAGBUO NG EQUATION PARA SA TANGENT SA GRAPH NG FUNCTION y = f(x):

1) Italaga ang abscissa ng tangent point na may titik a.

2) Kalkulahin ang f(a).

3) Hanapin ang f´(x) at kalkulahin ang f´(a).

4) Palitan ang mga nahanap na numerong a, f(a), f´(a) sa formula y= f(a)+ f"(a) (x- a).

Halimbawa 1. Gumawa ng equation para sa tangent sa graph ng function na y = - in

punto x = 1.

Solusyon. Gamitin natin ang algorithm, isinasaalang-alang iyon sa halimbawang ito

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Palitan ang nahanap na tatlong numero: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 sa formula. Nakukuha namin ang: y = -1+(x-1), y = x-2 .

Sagot: y = x-2.

Halimbawa 2. Ibinigay ang function na y = x 3 +3x 2 -2x-2. Isulat ang equation ng tangent sa graph ng function na y = f(x), parallel sa tuwid na linya y = -2x +1.

Gamit ang algorithm para sa pagbuo ng tangent equation, isinasaalang-alang namin na sa halimbawang ito f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, ngunit ang abscissa ng tangent point ay hindi ipinahiwatig dito.

Magsimula tayong mag-isip ng ganito. Ang nais na padaplis ay dapat na parallel sa tuwid na linya y = -2x+1. At ang mga parallel na linya ay may pantay na angular coefficients. Nangangahulugan ito na ang angular coefficient ng tangent ay katumbas ng angular coefficient ng ibinigay na tuwid na linya: k tangent. = -2. Hok cas. = f"(a). Kaya, mahahanap natin ang halaga ng a mula sa equation f ´(a) = -2.

Hanapin natin ang derivative ng function y=f(x):

f"(x)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;f"(a)= 3a 2 +6a-2.

Mula sa equation f"(a) = -2, i.e. 3a 2 +6a-2=-2 nakita namin ang isang 1 =0, isang 2 =-2. Nangangahulugan ito na mayroong dalawang tangent na nakakatugon sa mga kondisyon ng problema: ang isa sa punto na may abscissa 0, ang isa sa punto na may abscissa -2.

Ngayon ay maaari mong sundin ang algorithm.

1) a 1 =0, at 2 =-2.

2) f(a 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) Ang pagpapalit ng mga halaga a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 sa formula, nakukuha natin:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Ang pagpapalit ng mga halaga a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 sa formula, nakukuha natin:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Sagot: y=-2x-2, y=-2x+2.

Halimbawa 3. Mula sa punto (0; 3) gumuhit ng tangent sa graph ng function na y = . Solusyon. Gamitin natin ang algorithm para sa pagbuo ng tangent equation, na isinasaalang-alang na sa halimbawang ito f(x) = . Tandaan na dito, tulad ng sa halimbawa 2, ang abscissa ng tangent point ay hindi tahasang ipinahiwatig. Gayunpaman, sinusunod namin ang algorithm.

1) Hayaang x = a ang abscissa ng punto ng tangency; malinaw na ang isang >0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) Pagpapalit ng mga halaga ng a, f(a) = , f"(a) = sa formula

y=f (a) +f "(a) (x-a), nakukuha namin:

Sa pamamagitan ng kondisyon, ang padaplis ay dumadaan sa punto (0; 3). Ang pagpapalit ng mga halaga x = 0, y = 3 sa equation, nakukuha natin ang: 3 = , at pagkatapos ay =6, a =36.

Tulad ng nakikita mo, sa halimbawang ito, sa ika-apat na hakbang lamang ng algorithm, nahanap namin ang abscissa ng tangent point. Ang pagpapalit ng halaga a =36 sa equation, makuha natin ang: y=+3

Sa Fig. Ang Figure 1 ay nagpapakita ng isang geometric na paglalarawan ng itinuturing na halimbawa: isang graph ng function na y = ay binuo, isang tuwid na linya ay iginuhit y = +3.

Sagot: y = +3.

Alam natin na para sa isang function na y = f(x), na mayroong derivative sa puntong x, ang tinatayang pagkakapantay-pantay ay wasto: Δyf´(x)Δx (ang delta y ay tinatayang katumbas ng eff prime ng x na pinarami ng delta x)

o, nang mas detalyado, ang f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff mula sa x plus delta x minus ef mula sa x ay tinatayang katumbas ng eff prime mula sa x by delta x).

Para sa kaginhawaan ng karagdagang talakayan, baguhin natin ang notasyon:

sa halip na x kami ay magsusulat A,

sa halip na x+Δx isusulat namin ang x

Sa halip na Δx isusulat natin ang x-a.

Pagkatapos ang tinatayang pagkakapantay-pantay na nakasulat sa itaas ay kukuha ng anyo:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (ang eff mula sa x ay tinatayang katumbas ng ef mula sa isang plus ef prime mula sa a, na pinarami ng pagkakaiba sa pagitan ng x at a).

Halimbawa 4. Hanapin ang tinatayang halaga ng numerical expression 2.003 6.

Solusyon. Pinag-uusapan natin ang paghahanap ng halaga ng function na y = x 6 sa puntong x = 2.003. Gamitin natin ang formula f(x)f(a)+f´(a)(x-a), na isinasaalang-alang na sa halimbawang ito f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2.003, f"(x) = 6x 5 at, samakatuwid, f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.

Bilang resulta, nakukuha namin ang:

2.003 6 64+192· 0.003, ibig sabihin. 2.003 6 =64.576.

Kung gagamit tayo ng calculator, makukuha natin ang:

2,003 6 = 64,5781643...

Tulad ng nakikita mo, ang katumpakan ng pagtatantya ay lubos na katanggap-tanggap.

Y = f(x) at kung sa puntong ito ang isang tangent ay maaaring iguhit sa graph ng function na hindi patayo sa abscissa axis, kung gayon ang angular coefficient ng tangent ay katumbas ng f"(a). ginamit ito ng ilang beses Halimbawa, sa § 33 ay itinatag na ang graph ng function na y = sin x (sinusoid) sa pinanggalingan ay bumubuo ng isang anggulo ng 45° na may x-axis (mas tiyak, ang padaplis sa the. Ang graph sa pinanggalingan ay gumagawa ng isang anggulo na 45° na may positibong direksyon ng x-axis), at sa halimbawa 5 § 33 puntos ang natagpuan sa ibinigay na iskedyul mga function, kung saan ang padaplis ay parallel sa x-axis. Sa halimbawa 2 ng § 33, isang equation ang ginawa para sa tangent sa graph ng function na y = x 2 sa punto x = 1 (mas tiyak, sa punto (1; 1), ngunit mas madalas ang abscissa value lang ang ipinahiwatig, naniniwala na kung ang halaga ng abscissa ay kilala, kung gayon ang halaga ng ordinate ay matatagpuan mula sa equation na y = f(x)). Sa seksyong ito bubuo kami ng isang algorithm para sa pagbuo ng isang tangent equation sa graph ng anumang function.

Hayaang ibigay ang function na y = f(x) at ang point M (a; f(a)), at alam din na umiral ang f"(a). Bumuo tayo ng equation para sa tangent sa graph ng isang ibinigay na function sa isang naibigay na punto Ang equation na ito ay tulad ng equation ng anumang isang tuwid na linya na hindi parallel sa ordinate axis ay may form na y = kx+m, kaya ang gawain ay upang mahanap ang mga halaga ng mga coefficients k at m.

Walang mga problema sa angular coefficient k: alam namin na k = f "(a). Upang kalkulahin ang halaga ng m, ginagamit namin ang katotohanan na ang nais na tuwid na linya ay dumadaan sa puntong M(a; f (a)) . Nangangahulugan ito na kung papalitan natin ang mga coordinate point M sa equation ng tuwid na linya, makukuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay: f(a) = ka+m, kung saan makikita natin na m = f(a) - ka.
Ito ay nananatiling palitan ang mga nahanap na halaga ng mga coefficient ng kit sa equation direktang:

Nakuha namin ang equation para sa tangent sa graph ng function na y = f(x) sa puntong x=a.
Kung, sabihin,
Ang pagpapalit ng mga nahanap na halaga a = 1, f(a) = 1 f"(a) = 2 sa equation (1), makuha namin ang: y = 1+2(x-f), ibig sabihin, y = 2x-1.
Ihambing ang resulta na ito sa nakuha sa halimbawa 2 mula sa § 33. Natural, ang parehong bagay ang nangyari.
Gumawa tayo ng equation para sa tangent sa graph ng function na y = tan x sa pinanggalingan. Mayroon kaming: nangangahulugan ito ng cos x f"(0) = 1. Ang pagpapalit ng mga nahanap na halaga a = 0, f(a) = 0, f"(a) = 1 sa equation (1), makuha namin ang: y = x.
Iyon ang dahilan kung bakit iginuhit namin ang tangentoid sa § 15 (tingnan ang Fig. 62) sa pamamagitan ng pinagmulan ng mga coordinate sa isang anggulo na 45° sa abscissa axis.
Kapag nilulutas ang medyo simpleng mga halimbawang ito, aktwal na ginamit namin ang isang tiyak na algorithm, na nakapaloob sa formula (1). Gawin nating tahasan ang algorithm na ito.

ALGORITHM PARA SA PAGBUO NG EQUATION PARA SA TANGENT SA GRAPH NG FUNCTION y = f(x)

1) Italaga ang abscissa ng tangent point na may titik a.
2) Kalkulahin ang 1 (a).
3) Hanapin ang f"(x) at kalkulahin ang f"(a).
4) Palitan ang mga nahanap na numerong a, f(a), (a) sa formula (1).

Halimbawa 1. Sumulat ng equation para sa tangent sa graph ng function sa puntong x = 1.
Gamitin natin ang algorithm, isinasaalang-alang iyon sa halimbawang ito

Sa Fig. 126 ang isang hyperbola ay inilalarawan, isang tuwid na linya y = 2 ay binuo.
Kinukumpirma ng pagguhit ang mga kalkulasyon sa itaas: sa katunayan, ang tuwid na linya na y = 2 ay nakadikit sa hyperbola sa punto (1; 1).

Sagot: y = 2- x.
Halimbawa 2. Gumuhit ng tangent sa graph ng function upang ito ay parallel sa linyang y = 4x - 5.
Linawin natin ang pagbabalangkas ng problema. Ang pangangailangan na "gumuhit ng tangent" ay karaniwang nangangahulugang "upang bumuo ng isang equation para sa tangent." Ito ay lohikal, dahil kung ang isang tao ay nakagawa ng isang equation para sa isang tangent, kung gayon siya ay malamang na hindi nahihirapan sa pagbuo ng isang tuwid na linya sa coordinate plane gamit ang equation nito.
Gamitin natin ang algorithm para sa pagbuo ng tangent equation, na isinasaalang-alang na sa halimbawang ito Ngunit, hindi katulad ng nakaraang halimbawa, mayroong kalabuan: ang abscissa ng tangent point ay hindi tahasang ipinahiwatig.
Magsimula tayong mag-isip ng ganito. Ang nais na padaplis ay dapat na parallel sa tuwid na linya y = 4x-5. Dalawang linya ay parallel kung at kung magkapantay lamang ang kanilang mga slope. Nangangahulugan ito na ang angular coefficient ng tangent ay dapat na katumbas ng angular coefficient ng ibinigay na tuwid na linya: Kaya, mahahanap natin ang halaga ng a mula sa equation na f"(a) = 4.
Mayroon kaming:
Mula sa equation Nangangahulugan ito na mayroong dalawang tangent na nakakatugon sa mga kondisyon ng problema: ang isa sa punto na may abscissa 2, ang isa sa punto na may abscissa -2.
Ngayon ay maaari mong sundin ang algorithm.

Halimbawa 3. Mula sa punto (0; 1) gumuhit ng tangent sa graph ng function
Gamitin natin ang algorithm para sa pagbuo ng tangent equation, na isinasaalang-alang na sa halimbawang ito, Tandaan na dito, tulad ng sa halimbawa 2, ang abscissa ng tangent point ay hindi tahasang ipinahiwatig. Gayunpaman, sinusunod namin ang algorithm.

Sa pamamagitan ng kondisyon, ang padaplis ay dumadaan sa punto (0; 1). Ang pagpapalit ng mga halaga x = 0, y = 1 sa equation (2), makuha namin:
Tulad ng nakikita mo, sa halimbawang ito, sa ika-apat na hakbang lamang ng algorithm, nahanap namin ang abscissa ng tangent point. Ang pagpapalit ng halaga a =4 sa equation (2), makuha natin ang:

Sa Fig. Ang 127 ay nagpapakita ng isang geometric na paglalarawan ng itinuturing na halimbawa: ang isang graph ng function ay naka-plot

Sa § 32, napansin namin na para sa isang function na y = f(x) na mayroong derivative sa isang fixed point x, ang tinatayang pagkakapantay-pantay ay wasto:

Para sa kaginhawaan ng karagdagang pangangatwiran, baguhin natin ang notasyon: sa halip na x ay isusulat natin ang a, sa halip na isusulat natin ang x at, nang naaayon, sa halip na isusulat natin ang x-a. Pagkatapos ang tinatayang pagkakapantay-pantay na nakasulat sa itaas ay kukuha ng anyo:

Ngayon tingnan ang fig. 128. Ang isang tangent ay iginuhit sa graph ng function na y = f(x) sa punto M (a; f (a)). Ang puntong x ay minarkahan sa x-axis na malapit sa a. Malinaw na ang f(x) ay ang ordinate ng graph ng function sa tinukoy na punto x. Ano ang f(a) + f"(a) (x-a)? Ito ang ordinate ng tangent na tumutugma sa parehong punto x - tingnan ang formula (1). Ano ang kahulugan ng tinatayang pagkakapantay-pantay (3)? Ang katotohanan na Upang kalkulahin ang tinatayang halaga ng function, kunin ang ordinate value ng tangent.

Halimbawa 4. Hanapin ang tinatayang halaga ng numerical expression 1.02 7.
Pinag-uusapan natin ang paghahanap ng halaga ng function na y = x 7 sa puntong x = 1.02. Gamitin natin ang formula (3), na isinasaalang-alang iyon sa halimbawang ito
Bilang resulta, nakukuha namin ang:

Kung gumagamit tayo ng calculator, makakakuha tayo ng: 1.02 7 = 1.148685667...
Tulad ng nakikita mo, ang katumpakan ng pagtatantya ay lubos na katanggap-tanggap.
Sagot: 1,02 7 =1,14.

A.G. Mordkovich Algebra ika-10 baitang

Calendar-thematic na pagpaplano sa matematika, video sa mathematics online, Mathematics at school download

Nilalaman ng aralin mga tala ng aralin pagsuporta sa frame lesson presentation acceleration methods interactive na mga teknolohiya Magsanay mga gawain at pagsasanay mga workshop sa pagsusulit sa sarili, mga pagsasanay, mga kaso, mga pakikipagsapalaran sa mga tanong sa talakayan sa araling-bahay, mga tanong na retorika mula sa mga mag-aaral Mga Ilustrasyon audio, mga video clip at multimedia litrato, larawan, graphics, talahanayan, diagram, katatawanan, anekdota, biro, komiks, talinghaga, kasabihan, crosswords, quote Mga add-on mga abstract articles tricks para sa mga curious crib textbooks basic at karagdagang diksyunaryo ng mga terminong iba pa Pagpapabuti ng mga aklat-aralin at mga aralinpagwawasto ng mga pagkakamali sa aklat-aralin pag-update ng isang fragment sa isang aklat-aralin, mga elemento ng pagbabago sa aralin, pagpapalit ng hindi napapanahong kaalaman ng mga bago Para lamang sa mga guro perpektong mga aralin plano sa kalendaryo para sa mga rekomendasyon sa pamamaraan; Pinagsanib na Aralin