Saang mga kuwadrante matatagpuan ang mga sanga ng hyperbola? Pag-unawa sa magic ng hyperbole
Ang function ay nakasulat sa pangkalahatang anyo bilang y = o f(x) =
y at x ay inversely proportional na mga dami, ibig sabihin. kapag tumaas ang isa, bababa ang isa (suriin sa pamamagitan ng pag-plug ng mga numero sa function)
Hindi tulad ng nakaraang function, kung saan ang x 2 ay palaging lumilikha ng mga positibong halaga, dito hindi natin masasabi na - = dahil sila ay magiging ganap na kabaligtaran ng mga numero. Ang ganitong mga pag-andar ay tinatawag kakaiba.
Halimbawa, bumuo tayo ng graph y =
Naturally, ang x ay hindi maaaring katumbas ng zero (x ≠ 0)
Mga sanga ang mga hyperbola ay nasa 1st at 3rd na bahagi ng mga coordinate.
Maaari silang walang katapusang lumapit sa abscissa at ordinate axes at hindi kailanman maabot ang mga ito, kahit na ang "x" ay naging katumbas ng isang bilyon. Ang hyperbola ay magiging walang katapusan na malapit, ngunit hindi pa rin magsalubong sa mga axes (tulad ng isang mathematical na kalungkutan).
Bumuo tayo ng graph para sa y = -
At ngayon ang mga sanga ng hyperbola ay nasa ikalawa at ika-4 na quarter ng coordinate plane.
Bilang resulta, ang kumpletong simetrya ay maaaring maobserbahan sa pagitan ng lahat ng mga sangay.
Ngayon ay pag-uusapan natin ang tungkol sa inverse dependence, o sa madaling salita - inverse proportionality, bilang isang function. Naaalala mo ba na ang isang function ay isang tiyak na uri ng dependency? Kung hindi mo pa nababasa ang paksa, lubos kong inirerekumenda na i-drop mo ang lahat at basahin ito, dahil hindi mo maaaring pag-aralan ang anumang partikular na function nang hindi nauunawaan kung ano ito - isang function.
Napaka-kapaki-pakinabang din na makabisado ang dalawang mas simpleng function bago simulan ang paksang ito: at . Doon mo pagtitibayin ang konsepto ng isang function at matututong gumana sa mga coefficient at graph.
Kaya, naaalala mo ba kung ano ang isang function?
Ulitin natin: ang function ay isang panuntunan kung saan ang bawat elemento ng isang set (argument) ay nauugnay sa isang tiyak na ( ang nag-iisa!) elemento ng isa pang set (set ng mga value ng function). Iyon ay, kung mayroon kang isang function, nangangahulugan ito na para sa bawat wastong halaga ng isang variable (tinatawag na "argument") ay may katumbas na halaga ng isang variable (tinatawag na "function"). Ano ang ibig sabihin ng "katanggap-tanggap"? Kung hindi mo masagot ang tanong na ito, bumalik sa paksang "" muli! Ang lahat ay nasa konsepto "domain ng kahulugan": Para sa ilang mga function, hindi lahat ng mga argumento ay pantay na kapaki-pakinabang at maaaring palitan sa mga dependency. Halimbawa, para sa isang function, hindi pinapayagan ang mga negatibong halaga ng argumento.
Function na naglalarawan ng kabaligtaran na relasyon
Ito ay isang function ng form kung saan.
Sa ibang paraan, ito ay tinatawag na inverse proportionality: ang pagtaas sa argument ay nagdudulot ng proporsyonal na pagbaba sa function.
Tukuyin natin ang domain ng kahulugan. Ano ang maaaring katumbas nito? O, sa madaling salita, ano ang hindi maaaring katumbas nito?
Ang tanging bilang na hindi maaaring hatiin ay ang:
o, ano ang pareho,
(Ang gayong notasyon ay nangangahulugan na maaari itong maging anumang numero, maliban sa: ang tandang “ ” ay tumutukoy sa hanay ng mga tunay na numero, iyon ay, lahat ng posibleng mga numero; ang tandang “ ” ay tumutukoy sa pagbubukod ng isang bagay mula sa hanay na ito (katulad ng “minus ” sign), at ang isang numero sa mga kulot na bracket ay nangangahulugang isang numero lamang;
Ang hanay ng mga halaga ng pag-andar, lumalabas, ay eksaktong pareho: pagkatapos ng lahat, kung, kahit na ano ang hatiin natin, hindi ito gagana:
Posible rin ang ilang variation ng formula. Halimbawa, isa rin itong function na naglalarawan ng kabaligtaran na relasyon.
Tukuyin ang domain ng kahulugan at hanay ng mga halaga ng function na ito sa iyong sarili. Dapat itong magmukhang ganito:
Tingnan natin ang function na ito: . Inversely related ba ito?
Sa unang sulyap, mahirap sabihin: pagkatapos ng lahat, sa isang pagtaas, ang parehong denominator ng fraction at ang numerator ay tumataas, kaya hindi malinaw kung ang function ay bababa, at kung gayon, ito ay bababa nang proporsyonal? Upang maunawaan ito, kailangan nating baguhin ang expression upang walang variable sa numerator:
Sa katunayan, nakatanggap kami ng kabaligtaran na relasyon, ngunit may caveat: .
Narito ang isa pang halimbawa: .
Ito ay mas kumplikado dito: pagkatapos ng lahat, ang numerator at denominator ngayon ay tiyak na hindi magkakansela. Ngunit maaari pa rin nating subukan:
Naiintindihan mo ba ang ginawa ko? Sa numerator, idinagdag at ibinawas ko ang parehong numero (), kaya parang wala akong binago, ngunit ngayon ay may bahagi sa numerator na katumbas ng denominator. Ngayon ay hahatiin ko ang termino sa pamamagitan ng termino, iyon ay, hahatiin ko ang fraction na ito sa kabuuan ng dalawang fraction:
(sa katunayan, kung bawasan natin ang nakuha ko sa isang karaniwang denominator, makukuha natin ang ating paunang bahagi):
Ngayon subukang lutasin ang ilang mga halimbawa upang pagsamahin:
1. Ang figure ay nagpapakita ng isang graph ng isang function. Tukuyin.
2. Ipinapakita ng figure ang graph ng function. Tukuyin
3. Ipinapakita ng figure ang graph ng function. Tukuyin.
4. Ipinapakita ng figure ang graph ng function. Tukuyin.
5. Ang figure ay nagpapakita ng mga graph ng mga function at.
Piliin ang tamang ratio:
Mga sagot:
sa buhay
Saan natin mahahanap ang gayong function sa pagsasanay? Maraming halimbawa. Ang pinakakaraniwan ay ang paggalaw: kung mas malaki ang bilis kung saan tayo gumagalaw, mas kaunting oras ang aabutin natin upang masakop ang parehong distansya. Sa katunayan, tandaan natin ang formula para sa bilis: , where is speed, is travel time, is distance (path).
Mula dito maaari nating ipahayag ang oras:
Halimbawa:
Ang isang tao ay papasok sa trabaho sa average na bilis ng km/h at makakarating doon sa loob ng isang oras. Ilang minuto ang gugugol niya sa parehong kalsada kung nagmamaneho siya sa bilis na km/h?
Solusyon:
Sa pangkalahatan, nalutas mo na ang mga ganitong problema sa ika-5 at ika-6 na baitang. Binubuo mo ang proporsyon:
Ibig sabihin, pamilyar na sa iyo ang konsepto ng inverse proportionality. Kaya naalala namin. At ngayon ang parehong bagay, lamang sa isang pang-adultong paraan: sa pamamagitan ng isang function.
Function (iyon ay, dependence) ng oras sa mga minuto sa bilis:
Ito ay kilala na, kung gayon:
Kailangang hanapin:
Ngayon ay gumawa ng ilang mga halimbawa mula sa buhay kung saan ang inverse proportionality ay naroroon.
Nakaisip ka ba nito? Magaling kung gagawin mo. Good luck!
REVERSE DEPENDENCE. MAIKLING TUNGKOL SA MGA PANGUNAHING BAGAY
1. Kahulugan
Naglalarawan ng function ay isang function ng form kung saan.
Sa ibang paraan, ang function na ito ay tinatawag na inverse proportionality, dahil ang pagtaas sa argument ay nagdudulot ng proporsyonal na pagbaba sa function.
o, ano ang pareho,
Ang inverse graph ay isang hyperbola.
2. Coefficients, at.
Responsable para sa “flatness” at direksyon ng graph: mas malaki ang koepisyent na ito, mas matatagpuan ang hyperbola mula sa pinanggalingan, at, samakatuwid, ito ay "lumiliko" nang hindi gaanong matarik (tingnan ang figure). Ang tanda ng koepisyent ay nakakaapekto kung aling quarter ang graph ay matatagpuan sa:
- kung, kung gayon ang mga sanga ng hyperbola ay matatagpuan sa at quarters;
- kung, pagkatapos ay sa at.
x=a ay patayong asymptote, iyon ay, ang patayo kung saan ang graph ay may posibilidad.
Ang numero ay responsable para sa paglilipat ng function graph pataas sa pamamagitan ng isang halaga kung , at paglilipat nito pababa kung .
Samakatuwid, ito ay pahalang na asymptote.
Well, tapos na ang topic. Kung binabasa mo ang mga linyang ito, ibig sabihin ay napaka-cool mo.
Dahil 5% lamang ng mga tao ang nakakabisa ng isang bagay sa kanilang sarili. At kung magbabasa ka hanggang sa huli, ikaw ay nasa 5% na ito!
Ngayon ang pinakamahalagang bagay.
Naunawaan mo ang teorya sa paksang ito. At, inuulit ko, ito... super lang! Mas mahusay ka na kaysa sa karamihan ng iyong mga kapantay.
Ang problema ay maaaring hindi ito sapat...
Para saan?
Para sa matagumpay na pagpasa sa Unified State Exam, para sa pagpasok sa kolehiyo sa isang badyet at, PINAKA MAHALAGA, habang buhay.
Hindi kita kukumbinsihin sa anumang bagay, isa lang ang sasabihin ko...
Ang mga taong nakatanggap ng magandang edukasyon ay kumikita ng higit pa kaysa sa mga hindi nakatanggap nito. Ito ay mga istatistika.
Ngunit hindi ito ang pangunahing bagay.
Ang pangunahing bagay ay MAS MASAYA sila (may mga ganyang pag-aaral). Marahil dahil marami pang pagkakataon ang nagbubukas sa harap nila at ang buhay ay nagiging mas maliwanag? hindi ko alam...
Pero isipin mo ang sarili mo...
Ano ang kailangan para makasiguradong maging mas mahusay kaysa sa iba sa Unified State Exam at sa huli ay... mas masaya?
AGAIN ANG IYONG KAMAY SA PAGLUTAS NG MGA PROBLEMA SA PAKSANG ITO.
Hindi ka hihilingin ng teorya sa panahon ng pagsusulit.
Kakailanganin mo lutasin ang mga problema laban sa oras.
At, kung hindi mo pa nalutas ang mga ito (MARAMING!), tiyak na makakagawa ka ng isang hangal na pagkakamali sa isang lugar o hindi magkakaroon ng oras.
Parang sa sports - kailangan mong ulitin ng maraming beses para siguradong manalo.
Hanapin ang koleksyon kahit saan mo gusto, kinakailangang may mga solusyon, detalyadong pagsusuri at magpasya, magpasya, magpasya!
Maaari mong gamitin ang aming mga gawain (opsyonal) at, siyempre, inirerekomenda namin ang mga ito.
Upang maging mas mahusay sa paggamit ng aming mga gawain, kailangan mong tumulong na palawigin ang buhay ng YouClever textbook na kasalukuyan mong binabasa.
Paano? Mayroong dalawang mga pagpipilian:
- I-unlock ang lahat ng mga nakatagong gawain sa artikulong ito -
- I-unlock ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain sa lahat ng 99 na artikulo ng aklat-aralin - Bumili ng isang aklat-aralin - 899 RUR
Oo, mayroon kaming 99 na ganoong mga artikulo sa aming aklat-aralin at ang access sa lahat ng mga gawain at lahat ng mga nakatagong teksto sa mga ito ay mabubuksan kaagad.
Ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain ay ibinibigay para sa BUONG buhay ng site.
At sa konklusyon...
Kung hindi mo gusto ang aming mga gawain, maghanap ng iba. Huwag lamang tumigil sa teorya.
Ang "Naiintindihan" at "Maaari kong malutas" ay ganap na magkaibang mga kasanayan. Kailangan mo pareho.
Maghanap ng mga problema at lutasin ang mga ito!
Kung ang isang pare-pareho ay idinagdag sa ARGUMENT ng function, pagkatapos ay isang shift (parallel na pagsasalin) ng graph ang magaganap sa kahabaan ng axis. Isaalang-alang ang isang function at isang positibong numero:
Mga tuntunin:
1) upang bumuo ng isang graph ng isang function, kailangan mong ilipat ang graph KASAMA mga palakol bawat yunit umalis;
2) upang bumuo ng isang graph ng isang function, kailangan mong ilipat ang graph KASAMA mga palakol bawat yunit tama.
Halimbawa 6
I-graph ang function
Kumuha ng parabola at ilipat ito sa kahabaan ng x-axis ng 1 unit tama:
Ang "identification beacon" ay ang halaga, dito matatagpuan ang tuktok ng parabola.
Ngayon, sa palagay ko, walang mahihirapan sa paggawa ng isang graph (halimbawa ng demo sa simula ng aralin) - ang kubiko na parabola ay kailangang ilipat ng 2 yunit sa kaliwa.
Narito ang isa pang karaniwang kaso:
Halimbawa 7
I-graph ang function
Ang hyperbola (itim na kulay) ay inilipat sa kahabaan ng axis ng 2 unit umalis:
Ang paglipat ng hyperbola ay "nagbibigay" ng isang halaga na hindi kasama sa domain ng isang function. Sa halimbawang ito, at equation ng isang linya set patayong asymptote(pulang tuldok na linya) graph ng function (pulang solidong linya). Kaya, sa parallel transfer, ang asymptote ng graph ay nagbabago rin (na kitang-kita).
Bumalik tayo sa mga function ng trigonometriko:
Halimbawa 8
I-graph ang function
Ang sine graph (itim na kulay) ay inilipat sa kahabaan ng axis sa kahabaan ng axis ng umalis:
Tingnan natin ang resultang pulang graph... Ito talaga ang cosine plot! Mahalaga, mayroon kaming isang geometric na paglalarawan mga formula ng pagbabawas, at bago ka, marahil, ang pinaka "sikat" na formula na nagkokonekta sa mga trigonometrikong function na ito. Ang graph ng function ay nakuha sa pamamagitan ng paglilipat ng sinusoid sa kahabaan ng axis ng mga yunit sa kaliwa (na tinalakay na sa aralin Mga graph at katangian ng elementarya na pag-andar). Katulad nito, maaari mong i-verify ang bisa ng anumang iba pa mga formula ng pagbabawas.
Isaalang-alang natin ang panuntunan sa komposisyon kapag ang argumento ay isang linear function: , habang ang parameter na “ka” hindi pantay zero o isa, parameter na "maging" - hindi pantay sero. Paano i-graph ang gayong function? Mula sa kurso sa paaralan, alam natin na ang multiplikasyon ay may priyoridad kaysa sa karagdagan, kaya tila una nating i-compress/iunat/ipapakita ang graph depende sa halaga ng , at pagkatapos ay ilipat ito ng mga yunit. Ngunit mayroong isang pitfall dito, at ang tamang algorithm ay:
Ang argument ng function ay dapat na kinakatawan sa anyo at ang mga sumusunod na pagbabago ay dapat gawin nang sunud-sunod:
1) Ang graph ng function ay naka-compress (o nakaunat) patungo sa ordinate axis (mula sa axis): (kung , kung gayon ang graph ay dapat ding ipakita nang simetriko tungkol sa axis).
2) Ilipat ang graph ng resultang function sa kaliwa (o pakanan) kasama ang abscissa axis sa (!!!) mga yunit, bilang isang resulta kung saan ang nais na graph ay bubuo.
Halimbawa 9
I-graph ang function
Katawanin natin ang function sa form at gawin ang mga sumusunod na pagbabagong-anyo: sinusoid (itim):
1) pisilin sa axis dalawang beses: (asul);
2) lumipat kasama ang axis sa (!!!) umalis: (pulang kulay):
Ang halimbawa ay tila simple, ngunit ang paglipad na may parallel na paglipat ay mas madali kaysa dati. Ang graph ay nagbabago ng , at hindi sa lahat ng .
Patuloy kaming humaharap sa mga tungkulin ng pagsisimula ng isang aralin:
Halimbawa 10
I-graph ang function
Katawanin natin ang function sa form . Sa kasong ito: Isasagawa namin ang pagtatayo sa tatlong hakbang. Natural na logarithm graph:
1) pisilin sa axis 2 beses: ;
2) ipakita ang simetriko kamag-anak sa axis: ;
3) lumipat kasama ang axis sa (!!!) sa kanan: :
Para sa pagpipigil sa sarili, maaari mong palitan ang isang pares ng mga halaga ng "x" sa huling function, halimbawa, at suriin ang resultang graph.
Sa mga talatang tinalakay, ang mga pangyayari ay naganap nang "pahalang" - tumutugtog ang akordyon, sumasayaw ang mga binti sa kaliwa/kanan. Ngunit ang mga katulad na pagbabago ay nagaganap din sa "vertical" na direksyon - kasama ang axis. Ang pangunahing pagkakaiba ay hindi sila nauugnay sa ARGUMENTO, ngunit sa FUNCTION MISMO.
Pag-stretching (pag-compress) ng graph SA KASAMA ng ordinate axis.
Symmetrical na pagpapakita ng graph na nauugnay sa x-axis
Ang istraktura ng ikalawang bahagi ng artikulo ay magkatulad.
1) Kung ang FUNCTION ay i-multiply sa numero, pagkatapos ito ay mangyayari pag-uunat ng graph nito sa kahabaan ng ordinate axis.
Panuntunan kahabaan ng axis minsan.
2) Kung ang FUNCTION ay i-multiply sa numero, pagkatapos ito ay mangyayari compression ng graph nito kasama ang ordinate axis.
Panuntunan: upang bumuo ng isang graph ng isang function kung saan , kailangan mo ng isang graph ng function i-compress sa kahabaan ng axis minsan.
Hulaan kung anong function ang susubukan kong muli =)
Halimbawa 11
Bumuo ng mga function graph.
Kinukuha namin ang sinusoid sa pamamagitan ng korona/takong:
AT bunutin kanya kasama ang axis 2 beses:
Ang panahon ng function ay hindi nagbago at ay , ngunit ang mga halaga (lahat maliban sa zero) ay tumaas modulo dalawang beses, na lohikal - pagkatapos ng lahat, ang function ay pinarami ng 2, at ang saklaw ng mga halaga nito ay doble: .
Ngayon pisilin tayo sinusoid kasama ang axis 2 beses:
Katulad nito, ang panahon ay hindi nagbago, ngunit ang hanay ng mga halaga ng pag-andar ay "na-flatten" ng kalahati: .
Hindi, wala akong anumang bias patungo sa sine wave, gusto ko lang ipakita kung paano naiiba ang mga function graph (Mga Halimbawa Blg. 1, 3) sa kanilang kakagawa lang na mga katapat. Subukang suriin muli at mas maunawaan ang mga elementarya na kaso na ito. Kahit na ang kaunting kaalaman tungkol sa mga pagbabago sa graph ay magbibigay sa iyo ng napakahalagang tulong sa paglutas ng iba pang mga problema ng mas mataas na matematika! . Mga kaso
Kumusta, mahal na mga mag-aaral sa Argemona University! Maligayang pagdating sa isa pang panayam sa magic ng mga function at integral.
Ngayon ay pag-uusapan natin ang tungkol sa hyperbole. Magsimula tayo sa simple. Ang pinakasimpleng uri ng hyperbole ay:
Ang function na ito, hindi katulad ng tuwid na linya sa mga karaniwang anyo nito, ay may isang espesyal na tampok. Tulad ng alam natin, ang denominator ng isang fraction ay hindi maaaring maging zero, dahil hindi mo maaaring hatiin sa zero.
x ≠ 0
Mula dito ay napagpasyahan namin na ang domain ng kahulugan ay ang buong linya ng numero, maliban sa punto 0: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).
Kung ang x ay 0 mula sa kanan (nakasulat na ganito: x->0+), i.e. nagiging napaka, napakaliit, ngunit nananatiling positibo, pagkatapos ang y ay nagiging napaka, napakalaking positibo (y->+∞).
Kung ang x ay 0 mula sa kaliwa (x->0-), i.e. nagiging napakaliit sa ganap na halaga, ngunit nananatiling negatibo, pagkatapos ay magiging negatibo din ang y, ngunit sa ganap na halaga ito ay magiging napakalaki (y->-∞).
Kung ang x ay may posibilidad na plus infinity (x->+∞), i.e. nagiging napakalaking positibong numero, pagkatapos ay magiging mas maliit na positibong numero ang y, i.e. ay magiging 0, mananatiling positibo sa lahat ng oras (y->0+).
Kung ang x ay may posibilidad na bawasan ang infinity (x->-∞), i.e. nagiging malaki sa modulus, ngunit negatibong numero, pagkatapos ay palaging magiging negatibong numero ang y, ngunit maliit sa modulus (y->0-).
Ang Y, tulad ng x, ay hindi maaaring kunin ang halaga na 0. Ito ay nagiging zero lamang. Samakatuwid, ang hanay ng mga halaga ay pareho sa domain ng kahulugan: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).
Batay sa mga pagsasaalang-alang na ito, maaari tayong gumuhit ng eskematiko ng isang graph ng function
Makikita na ang hyperbola ay binubuo ng dalawang bahagi: ang isa ay matatagpuan sa 1st coordinate angle, kung saan ang x at y values ay positibo, at ang pangalawang bahagi ay nasa ikatlong coordinate angle, kung saan ang x at y values ay negatibo.
Kung lilipat tayo mula -∞ hanggang +∞, makikita natin na bumababa ang ating function mula 0 hanggang -∞, pagkatapos ay mayroong isang matalim na pagtalon (mula -∞ hanggang +∞) at magsisimula ang pangalawang sangay ng function, na bumababa rin, ngunit mula +∞ hanggang 0. Ibig sabihin, ang hyperbole na ito ay bumababa.
Kung babaguhin mo ng kaunti ang function: gamitin ang magic ng minus,
(1")
Pagkatapos ang function ay mahimalang lilipat mula sa 1st at 3rd coordinate quarters patungo sa 2nd at 4th quarter at tataas.
Hayaan akong ipaalala sa iyo na ang function ay dumarami, kung para sa dalawang halaga x 1 at x 2 tulad ng x 1<х 2 , значения функции находятся в том же отношении f(х 1) < f(х 2).
At ang magiging function bumababa, kung f(x 1) > f(x 2) para sa parehong mga halaga ng x.
Ang mga sanga ng hyperbola ay lumalapit sa mga palakol, ngunit hindi kailanman bumabagtas sa kanila. Tinatawag ang mga linya na ang graph ng isang function ay lumalapit ngunit hindi kailanman nag-intersect asymptote function na ito.
Para sa aming function (1), ang mga asymptotes ay ang mga tuwid na linya x=0 (OY axis, vertical asymptote) at y=0 (OX axis, horizontal asymptote).
Ngayon, gawing kumplikado ng kaunti ang pinakasimpleng hyperbola at tingnan kung ano ang mangyayari sa graph ng function.
(2)
Idinagdag lang namin ang pare-parehong "a" sa denominator. Ang pagdaragdag ng isang numero sa denominator bilang isang termino sa x ay nangangahulugan ng paglipat ng buong "hyperbolic construction" (kasama ang vertical asymptote) (-a) na mga posisyon sa kanan kung ang a ay isang negatibong numero, at (-a) mga posisyon sa kaliwa kung ang a ay isang positibong numero.
Sa kaliwang graph, isang negatibong pare-pareho ang idinagdag sa x (a<0, значит, -a>0), na nagiging sanhi ng paglipat ng graph sa kanan, at sa kanang graph ay mayroong isang positibong pare-pareho (a>0), dahil sa kung saan ang graph ay inilipat sa kaliwa.
At anong magic ang maaaring makaapekto sa paglipat ng "hyperbolic structure" pataas o pababa? Pagdaragdag ng pare-parehong termino sa isang fraction.
(3)
Ngayon ang aming buong function (parehong mga sanga at ang pahalang na asymptote) ay tataas ng mga posisyon sa b kung ang b ay isang positibong numero, at bababa sa mga posisyon ng b kung ang b ay isang negatibong numero.
Pakitandaan na ang mga asymptotes ay gumagalaw kasama ng hyperbola, i.e. ang hyperbola (parehong mga sanga nito) at pareho ng mga asymptotes nito ay dapat ituring bilang isang hindi mapaghihiwalay na istraktura na gumagalaw nang pantay sa kaliwa, kanan, pataas o pababa. Napakagandang pakiramdam kapag sa pamamagitan lamang ng pagdaragdag ng numero ay magagawa mong ilipat ang buong function sa anumang direksyon. Ano ang hindi magic, na maaari mong master nang napakadali at idirekta ito sa iyong paghuhusga sa tamang direksyon?
Sa pamamagitan ng paraan, maaari mong kontrolin ang paggalaw ng anumang function sa ganitong paraan. Sa susunod na mga aralin ay pagsasama-samahin natin ang kasanayang ito.
Bago ka magtalaga ng takdang-aralin, nais kong iguhit ang iyong pansin sa function na ito:
(4)
Ang mas mababang sangay ng hyperbola ay gumagalaw mula sa 3rd coordinate angle pataas - sa pangalawa, sa anggulo kung saan ang value ng y ay positibo, i.e. ang sangay na ito ay sinasalamin nang simetriko na nauugnay sa axis ng OX. At ngayon nakakakuha kami ng pantay na pag-andar.
Ano ang ibig sabihin ng "even function"? Tinatawag ang function kahit, kung matugunan ang kundisyon: f(-x)=f(x)
Tinatawag ang function kakaiba, kung matugunan ang kundisyon: f(-x)=-f(x)
Sa aming kaso
(5)
Ang bawat even function ay simetriko tungkol sa OY axis, i.e. ang isang pergamino na may guhit ng isang graph ay maaaring itiklop sa kahabaan ng OY axis, at ang dalawang bahagi ng graph ay eksaktong magkatugma sa isa't isa.
Tulad ng nakikita natin, ang function na ito ay mayroon ding dalawang asymptotes - pahalang at patayo. Hindi tulad ng mga function na tinalakay sa itaas, ang function na ito ay tumataas sa isang bahagi at bumababa sa isa pa.
Subukan natin ngayon na manipulahin ang graph na ito sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga constant.
(6)
Alalahanin na ang pagdaragdag ng isang pare-pareho bilang isang termino sa "x" ay nagiging sanhi ng buong graph (kasama ang vertical asymptote) upang lumipat nang pahalang, kasama ang pahalang na asymptote (sa kaliwa o sa kanan, depende sa tanda ng pare-parehong ito).
(7)
At ang pagdaragdag ng pare-parehong b bilang isang termino sa isang fraction ay nagiging sanhi ng pagtaas o pagbaba ng graph. Ito ay napaka-simple!
Ngayon subukang mag-eksperimento sa magic na ito sa iyong sarili.
Takdang-Aralin 1.
Ang bawat isa ay tumatagal ng dalawang function para sa kanilang mga eksperimento: (3) at (7).
a=ang unang digit ng iyong LD
b=pangalawang digit ng iyong LD
Subukang makuha ang magic ng mga function na ito, simula sa pinakasimpleng hyperbola, tulad ng ginawa ko sa aralin, at unti-unting idagdag ang iyong sariling mga constants. Maaari ka nang magmodelo ng function (7) batay sa huling anyo ng function (3). Ipahiwatig ang mga domain ng kahulugan, ang hanay ng mga halaga, at asymptotes. Paano kumikilos ang mga function: pagbaba, pagtaas. Kahit - kakaiba. Sa pangkalahatan, subukang gawin ang parehong pananaliksik tulad ng ginawa mo sa klase. Baka may mahanap ka pa na nakalimutan kong pag-usapan.
Sa pamamagitan ng paraan, ang parehong mga sangay ng pinakasimpleng hyperbola (1) ay simetriko na may paggalang sa bisector ng ika-2 at ika-4 na anggulo ng coordinate. Ngayon isipin na ang hyperbola ay nagsimulang umikot sa paligid ng axis na ito. Kumuha tayo ng isang magandang pigura na magagamit.
Gawain 2. Saan maaaring gamitin ang figure na ito? Subukang gumuhit ng figure ng rotation para sa function (4) na nauugnay sa axis ng symmetry nito at isipin kung saan maaaring gamitin ang naturang figure.
Tandaan kung paano sa pagtatapos ng huling aralin nakuha namin ang isang tuwid na linya na may butas na punto? At narito ang huli gawain 3.
Bumuo ng graph ng function na ito:
(8)
Ang mga coefficient a, b ay pareho sa gawain 1.
c=third digit ng iyong LD o a-b kung ang LD mo ay two-digit.
Ang isang maliit na pahiwatig: una, ang fraction na nakuha pagkatapos palitan ang mga numero ay dapat na pinasimple, at pagkatapos ay makakakuha ka ng isang ordinaryong hyperbola, na kailangan mong bumuo, ngunit sa huli ay dapat mong isaalang-alang ang domain ng kahulugan ng orihinal na expression.
Isaalang-alang ang function na y=k/y. Ang graph ng function na ito ay isang linya, na tinatawag na hyperbola sa matematika. Ang pangkalahatang view ng isang hyperbola ay ipinapakita sa figure sa ibaba. (Ipinapakita ng graph ang function na y katumbas ng k na hinati ng x, kung saan ang k ay katumbas ng isa.)
Makikita na ang graph ay binubuo ng dalawang bahagi. Ang mga bahaging ito ay tinatawag na mga sanga ng hyperbola. Kapansin-pansin din na ang bawat sangay ng hyperbola ay lumalapit sa isa sa mga direksyon na mas malapit at mas malapit sa mga coordinate axes. Ang mga coordinate axes sa kasong ito ay tinatawag na asymptotes.
Sa pangkalahatan, ang anumang mga tuwid na linya kung saan ang graph ng isang function ay walang katapusan na lumalapit ngunit hindi umabot sa kanila ay tinatawag na asymptotes. Ang hyperbola, tulad ng isang parabola, ay may mga axes ng simetriya. Para sa hyperbola na ipinapakita sa figure sa itaas, ito ang linyang y=x.
Ngayon tingnan natin ang dalawang karaniwang kaso ng hyperbole. Ang graph ng function na y = k/x, para sa k ≠0, ay magiging hyperbola, ang mga sanga nito ay matatagpuan alinman sa una at ikatlong coordinate angle, para sa k>0, o sa ikalawa at ikaapat na coordinate angle, para kay k<0.
Mga pangunahing katangian ng function na y = k/x, para sa k>0
Graph ng function na y = k/x, para sa k>0
5. y>0 sa x>0; y6. Ang function ay bumababa pareho sa pagitan (-∞;0) at sa pagitan (0;+∞).
10. Ang hanay ng mga halaga ng function ay dalawang bukas na pagitan (-∞;0) at (0;+∞).
Mga pangunahing katangian ng function na y = k/x, para sa k<0
Graph ng function na y = k/x, sa k<0
1. Ang punto (0;0) ay ang sentro ng simetrya ng hyperbola.
2. Coordinate axes - asymptotes ng hyperbola.
4. Ang domain ng kahulugan ng function ay lahat x maliban sa x=0.
5. y>0 sa x0.
6. Ang function ay tumataas pareho sa pagitan (-∞;0) at sa pagitan (0;+∞).
7. Ang function ay hindi limitado alinman mula sa ibaba o mula sa itaas.
8. Ang isang function ay walang maximum o minimum na halaga.
9. Ang function ay tuloy-tuloy sa pagitan (-∞;0) at sa pagitan (0;+∞). May puwang sa x=0.
