Ano ang pangalawang kapansin-pansing limitasyon? Pangalawang kahanga-hangang limitasyon

Ang formula para sa pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Ang isa pang anyo ng pagsulat ay ganito: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.

Kapag pinag-uusapan natin ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon, kailangan nating harapin ang kawalan ng katiyakan ng form 1 ∞, i.e. pagkakaisa sa isang walang katapusang antas.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Isaalang-alang natin ang mga problema kung saan ang kakayahang kalkulahin ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay magiging kapaki-pakinabang.

Halimbawa 1

Hanapin ang limitasyon lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

Solusyon

Palitan natin ang kinakailangang formula at gawin ang mga kalkulasyon.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

Ang sagot namin ay one to the power of infinity. Upang matukoy ang paraan ng solusyon, ginagamit namin ang talahanayan ng kawalan ng katiyakan. Piliin natin ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon at gumawa ng pagbabago ng mga variable.

t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2

Kung x → ∞, t → - ∞.

Tingnan natin kung ano ang nakuha namin pagkatapos ng kapalit:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Sagot: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Halimbawa 2

Kalkulahin ang limitasyon lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .

Solusyon

Palitan natin ang infinity at kunin ang sumusunod.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

Sa sagot, muli naming nakuha ang parehong bagay tulad ng sa nakaraang problema, samakatuwid, maaari naming muli gamitin ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Susunod, kailangan nating piliin ang buong bahagi sa base ng power function:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

Pagkatapos nito, kinukuha ng limitasyon ang sumusunod na anyo:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Palitan ang mga variable. Ipagpalagay natin na t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; kung x → ∞, t → ∞.

Pagkatapos nito, isusulat namin kung ano ang nakuha namin sa orihinal na limitasyon:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2

Upang maisagawa ang pagbabagong ito, ginamit namin ang mga pangunahing katangian ng mga limitasyon at kapangyarihan.

Sagot: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

Halimbawa 3

Kalkulahin ang limitasyon lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3-5 .

Solusyon

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞

Pagkatapos nito, kailangan nating baguhin ang function upang mailapat ang pangalawang mahusay na limitasyon. Nakuha namin ang mga sumusunod:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Dahil mayroon na tayong parehong mga exponent sa numerator at denominator ng fraction (katumbas ng anim), ang limitasyon ng fraction sa infinity ay magiging katumbas ng ratio ng mga coefficient na ito sa mas mataas na kapangyarihan.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

Sa pamamagitan ng pagpapalit ng t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 nakakakuha tayo ng pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Nangangahulugan ito na:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Sagot: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

Mga konklusyon

Kawalang-katiyakan 1 ∞, ibig sabihin. Ang pagkakaisa sa isang walang katapusang kapangyarihan ay isang kawalan ng katiyakan sa batas ng kapangyarihan, samakatuwid, maaari itong maihayag gamit ang mga patakaran para sa paghahanap ng mga limitasyon ng mga pagpapaandar ng exponential power.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Maghanap ng mga kahanga-hangang limitasyon Ito ay mahirap hindi lamang para sa maraming mga mag-aaral sa una at ikalawang taon na nag-aaral ng teorya ng mga limitasyon, kundi pati na rin para sa ilang mga guro.

Formula para sa unang kahanga-hangang limitasyon

Mga kahihinatnan ng unang kapansin-pansing limitasyon isulat natin ito sa mga formula
1. 2. 3. 4. Ngunit ang mga pangkalahatang pormula ng mga kapansin-pansing limitasyon mismo ay hindi nakakatulong sa sinuman sa isang pagsusulit o pagsusulit. Ang punto ay ang mga tunay na gawain ay itinayo upang kailangan mo pa ring makarating sa mga formula na nakasulat sa itaas. At ang karamihan sa mga mag-aaral na lumiliban sa mga klase, nag-aaral ng kursong ito nang walang pagliban, o may mga guro na hindi nila laging naiintindihan kung ano ang kanilang ipinapaliwanag, ay hindi makakalkula sa pinakamaraming elementarya na mga halimbawa hanggang sa mga kapansin-pansing limitasyon. Mula sa mga pormula ng unang kapansin-pansin na limitasyon nakita natin na sa kanilang tulong posible na pag-aralan ang mga kawalan ng katiyakan ng uri ng zero na hinati ng zero para sa mga expression na may mga function na trigonometriko. Isaalang-alang muna natin ang ilang halimbawa ng unang kahanga-hangang limitasyon, at pagkatapos ay pag-aralan ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon.

Halimbawa 1. Hanapin ang limitasyon ng function na sin(7*x)/(5*x)
Solusyon: Gaya ng nakikita mo, ang function sa ilalim ng limitasyon ay malapit sa unang kapansin-pansing limitasyon, ngunit ang limitasyon ng mismong function ay tiyak na hindi katumbas ng isa. Sa ganitong uri ng mga gawain sa mga limitasyon, dapat pumili sa denominator ng isang variable na may parehong koepisyent na nakapaloob sa variable sa ilalim ng sine. Sa kasong ito, hatiin at i-multiply sa 7

Para sa ilan, ang naturang detalye ay tila hindi kailangan, ngunit para sa karamihan ng mga mag-aaral na nahihirapan sa mga limitasyon, makakatulong ito sa kanila na mas maunawaan ang mga patakaran at makabisado ang teoretikal na materyal.
Gayundin, kung mayroong isang kabaligtaran na anyo ng isang function, ito rin ang unang kahanga-hangang limitasyon. At lahat dahil ang kahanga-hangang limitasyon ay katumbas ng isa

Ang parehong panuntunan ay nalalapat sa mga kahihinatnan ng unang kahanga-hangang limitasyon. Samakatuwid, kung tatanungin ka, "Ano ang unang kahanga-hangang limitasyon?" Dapat mong sagutin nang walang pag-aalinlangan na ito ay isang yunit.

Halimbawa 2. Hanapin ang limitasyon ng function na sin(6x)/tan(11x)
Solusyon: Upang maunawaan ang huling resulta, isulat natin ang function sa form

Upang ilapat ang mga alituntunin ng kahanga-hangang limitasyon, i-multiply at hatiin ayon sa mga salik

Susunod, isinusulat namin ang limitasyon ng produkto ng mga function sa pamamagitan ng produkto ng mga limitasyon

Nang walang kumplikadong mga formula, nakita namin ang limitasyon ng mga function ng trigonometriko. Upang makabisado ang mga simpleng formula, subukang makabuo at hanapin ang limitasyon sa 2 at 4, ang formula para sa corollary ng 1 magandang limitasyon. Titingnan natin ang mas kumplikadong mga problema.

Halimbawa 3: Kalkulahin ang limitasyon (1-cos(x))/x^2
Solusyon: Kapag sinusuri sa pamamagitan ng pagpapalit, nakakakuha kami ng kawalan ng katiyakan na 0/0. Maraming tao ang hindi alam kung paano bawasan ang gayong halimbawa sa isang kahanga-hangang limitasyon. Dapat gamitin dito ang trigonometric formula

Sa kasong ito, magbabago ang limitasyon sa isang malinaw na anyo

Nagawa naming bawasan ang function sa parisukat ng isang kahanga-hangang limitasyon.

Halimbawa 4. Hanapin ang limitasyon
Solusyon: Kapag nagpapalit, nakukuha namin ang pamilyar na tampok na 0/0. Gayunpaman, ang variable ay may posibilidad na Pi sa halip na zero. Samakatuwid, upang mailapat ang unang kapansin-pansing limitasyon, magsasagawa kami ng gayong pagbabago sa variable na x upang ang bagong variable ay mapunta sa zero. Upang gawin ito, tinutukoy namin ang denominator bilang isang bagong variable Pi-x=y

Kaya, gamit ang trigonometric formula na ibinigay sa nakaraang gawain, ang halimbawa ay nabawasan sa 1 kapansin-pansing limitasyon.

Halimbawa 5: Kalkulahin ang Limitasyon
Solusyon: Sa una ay hindi malinaw kung paano gawing simple ang mga limitasyon. Pero dahil may halimbawa, dapat may sagot. Ang katotohanan na ang variable ay napupunta sa pagkakaisa ay nagbibigay, kapag pinapalitan, ang isang tampok ng form na zero na pinarami ng infinity, kaya ang tangent ay dapat mapalitan gamit ang formula

Pagkatapos nito makuha namin ang kinakailangang kawalan ng katiyakan 0/0. Susunod, nagsasagawa kami ng pagbabago ng mga variable sa limitasyon at ginagamit ang periodicity ng cotangent

Ang mga huling pagpapalit ay nagpapahintulot sa amin na gamitin ang Corollary 1 ng kahanga-hangang limitasyon.

Ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay katumbas ng exponential

Isa itong classic na hindi laging madaling maabot sa mga problema sa totoong limitasyon.
Sa mga kalkulasyon na kakailanganin mo Ang mga limitasyon ay mga kahihinatnan ng pangalawang kahanga-hangang limitasyon:
1. 2. 3. 4.
Salamat sa pangalawang kahanga-hangang limitasyon at mga kahihinatnan nito, posibleng tuklasin ang mga kawalan ng katiyakan tulad ng zero na hinati sa zero, isa sa kapangyarihan ng infinity, at infinity na hinati sa infinity, at kahit sa parehong antas.

Magsimula tayo sa mga simpleng halimbawa.

Halimbawa 6. Hanapin ang limitasyon ng isang function
Solusyon: Ang direktang paglalapat ng 2nd kapansin-pansing limitasyon ay hindi gagana. Una, dapat mong ibahin ang anyo ng exponent upang magmukhang kabaligtaran ng termino sa mga bracket

Ito ang pamamaraan ng pagbabawas sa ika-2 kapansin-pansing limitasyon at, sa esensya, pagbabawas sa ika-2 formula para sa corollary ng limitasyon.

Halimbawa 7. Hanapin ang limitasyon ng isang function
Solusyon: Mayroon kaming mga gawain para sa formula 3 ng corollary 2 ng isang napakagandang limitasyon. Ang pagpapalit ng zero ay nagbibigay ng singularity ng form na 0/0. Upang itaas ang limitasyon sa isang panuntunan, i-on namin ang denominator upang ang variable ay may parehong coefficient tulad ng sa logarithm

Madali din itong maunawaan at maisagawa sa pagsusulit. Ang mga paghihirap ng mga mag-aaral sa pagkalkula ng mga limitasyon ay nagsisimula sa mga sumusunod na problema.

Halimbawa 8. Kalkulahin ang limitasyon ng isang function[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
Solusyon: Mayroon kaming type 1 singularity sa kapangyarihan ng infinity. Kung hindi ka naniniwala sa akin, maaari mong palitan ang infinity para sa "X" sa lahat ng dako at siguraduhin na ito. Upang makabuo ng isang panuntunan, hinahati namin ang numerator sa pamamagitan ng denominator sa mga panaklong;

Palitan natin ang expression sa limitasyon at gawin itong 2 kahanga-hangang limitasyon

Ang limitasyon ay katumbas ng exponential power na 10. Ang mga constant na mga termino na may variable, kapwa sa mga bracket at isang degree, ay hindi nagpapakilala ng anumang "panahon" - dapat itong tandaan. At kung tatanungin ka ng iyong mga guro, "Bakit hindi mo i-convert ang indicator?" (Para sa halimbawang ito sa x-3), pagkatapos ay sabihin na "Kapag ang isang variable ay may posibilidad na infinity, pagkatapos ay magdagdag ng 100 dito o ibawas ang 1000, at ang limitasyon ay mananatiling pareho sa dati!"
Mayroong pangalawang paraan upang makalkula ang mga limitasyon ng ganitong uri. Pag-uusapan natin ito sa susunod na gawain.

Halimbawa 9. Hanapin ang limitasyon
Solusyon: Ngayon, kunin natin ang variable sa numerator at denominator at gawing isa pa ang isang feature. Upang makuha ang pangwakas na halaga, ginagamit namin ang formula ng Corollary 2 ng kahanga-hangang limitasyon

Halimbawa 10. Hanapin ang limitasyon ng isang function
Solusyon: Hindi lahat ay makakahanap ng ibinigay na limitasyon. Upang itaas ang limitasyon sa 2, isipin na ang kasalanan (3x) ay isang variable, at kailangan mong i-on ang exponent

Susunod, isinulat namin ang tagapagpahiwatig bilang isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan


Ang mga intermediate na argumento ay inilarawan sa panaklong. Bilang resulta ng paggamit ng una at pangalawang kapansin-pansin na mga limitasyon, nakuha namin ang exponential sa kubo.

Halimbawa 11. Kalkulahin ang limitasyon ng isang function sin(2*x)/ln(3*x+1)
Solusyon: Mayroon kaming kawalan ng katiyakan sa form 0/0. Bilang karagdagan, nakikita namin na ang function ay dapat na ma-convert upang magamit ang parehong magagandang limitasyon. Gawin natin ang mga nakaraang pagbabagong matematikal

Dagdag pa, nang walang kahirapan, ang limitasyon ay kukuha ng halaga

Ganito ka libre ang mararamdaman mo sa mga takdang-aralin, pagsusulit, module kung matututunan mong mabilis na isulat ang mga function at bawasan ang mga ito sa una o pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Kung mahirap para sa iyo na kabisaduhin ang mga ibinigay na pamamaraan para sa paghahanap ng mga limitasyon, maaari kang palaging mag-order ng test paper sa mga limitasyon mula sa amin.
Upang gawin ito, punan ang form, magbigay ng data at maglakip ng isang file na may mga halimbawa. Marami na kaming natulungang estudyante - matutulungan ka rin namin!

Ang terminong "kahanga-hangang limitasyon" ay malawakang ginagamit sa mga aklat-aralin at mga pantulong sa pagtuturo upang tukuyin ang mahahalagang pagkakakilanlan na nakakatulong nang malaki. pasimplehin ang iyong trabaho sa paghahanap ng mga limitasyon.

Ngunit sa makapagdala ang iyong limitasyon sa kapansin-pansin, kailangan mong tingnan ito nang mabuti, dahil hindi sila matatagpuan sa direktang anyo, ngunit madalas sa anyo ng mga kahihinatnan, nilagyan ng karagdagang mga tuntunin at mga kadahilanan. Gayunpaman, ang teorya muna, pagkatapos ay mga halimbawa, at magtatagumpay ka!

Ang unang kahanga-hangang limitasyon

nagustuhan mo ba? Idagdag sa mga bookmark

Ang unang kapansin-pansing limitasyon ay nakasulat bilang mga sumusunod (kawalan ng katiyakan ng form $0/0$):

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1.

$$

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1.

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b).

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1.

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1.$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1.

$$

Mga halimbawang solusyon: 1 magandang limitasyon

Halimbawa 1.

Kalkulahin ang limitasyon $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$ Sagot: $3/8$.

Solusyon. Ang unang hakbang ay palaging pareho - pinapalitan namin ang halaga ng limitasyon $x=0$ sa function at makuha ang:

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1.$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Nakakuha kami ng kawalan ng katiyakan sa form na $\left[\frac(0)(0)\right]$, na dapat ibunyag. Kung titingnan mong mabuti, ang orihinal na limitasyon ay halos kapareho sa unang kapansin-pansin, ngunit hindi nag-tutugma dito. Ang aming gawain ay dalhin ito sa pagkakatulad. Ibahin natin ito ng ganito - tingnan ang expression sa ilalim ng sine, gawin ang parehong sa denominator (medyo pagsasalita, multiply at hatiin sa $3x$), pagkatapos ay bawasan at pasimplehin:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$

Sa itaas ay eksakto ang unang kapansin-pansin na limitasyon: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y ))(y)=1, \text( gumawa ng kondisyonal na kapalit ) y=3x. $$

Sagot: $9/16$.

Halimbawa 2. Kalkulahin ang limitasyon $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1. Pinapalitan namin ang limit na halaga $x=0$ sa function at makuha ang:

$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Nakakuha kami ng kawalan ng katiyakan ng form na $\left[\frac(0)(0)\right]$. I-multiply at hatiin ng $2x^3+3x$:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \left[\frac(0)(0)\right] = $$

Muli ay nagkaroon kami ng kawalan ng katiyakan, ngunit sa kasong ito ito ay isang fraction lamang. Bawasan natin ang numerator at denominator ng $x$:

$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ frac(3)(5). $$

Sagot: $3/5$.

Pangalawang kahanga-hangang limitasyon

Ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay nakasulat tulad ng sumusunod (kawalan ng katiyakan sa anyo na $1^\infty$):

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(o) \quad \lim\limits_( x\to 0) \left(1+x\right)^(1/x)=e.

$$

Mga kahihinatnan ng pangalawang kapansin-pansin na limitasyon

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab).

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1.

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1.$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\to 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1.

$$

Mga halimbawa ng mga solusyon: 2 kahanga-hangang limitasyon

Halimbawa 4.

Hanapin ang limitasyon $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$

Suriin natin ang uri ng kawalan ng katiyakan, palitan ang $x=\infty$ sa function at kunin ang:

Sagot:$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$

Nakakuha kami ng kawalan ng katiyakan sa form na $\left$. Ang limitasyon ay maaaring bawasan sa pangalawang kahanga-hangang bagay. Ibahin natin: $$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\kanan)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1. Ang expression sa panaklong ay talagang pangalawang kapansin-pansin na limitasyon $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, $t= lang - 3x/2$, kaya

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\kanan)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\kaliwa(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \kanan)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\kaliwa(\kaliwa(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\kanan) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\kanan)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$

Ang expression sa panaklong ay talagang pangalawang kapansin-pansin na limitasyon $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, $t= lang \ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, samakatuwid

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

Patunay:

Patunayan muna natin ang theorem para sa kaso ng sequence

Ayon sa binomial formula ni Newton:

Ipagpalagay na makuha namin

Mula sa pagkakapantay-pantay na ito (1) sumusunod na habang tumataas ang n, tumataas ang bilang ng mga positibong termino sa kanang bahagi. Bilang karagdagan, habang tumataas ang n, bumababa ang bilang, kaya ang mga halaga ay dumarami. Samakatuwid ang pagkakasunod-sunod dumarami, at (2)*Ipinapakita namin na ito ay may hangganan. Palitan ang bawat panaklong sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ng isa, tataas ang kanang bahagi, at makukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay

Palakasin natin ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay, palitan ang 3,4,5, ..., nakatayo sa mga denominador ng mga praksyon, na may bilang 2: Nakikita natin ang kabuuan sa mga bracket gamit ang formula para sa kabuuan ng mga termino ng isang geometric na pag-unlad: Samakatuwid (3)*

Kaya, ang pagkakasunud-sunod ay nakatali mula sa itaas, at ang mga hindi pagkakapantay-pantay (2) at (3) ay nasiyahan: Samakatuwid, batay sa Weierstrass theorem (criterion para sa convergence ng isang sequence), ang sequence monotonically ay tumataas at limitado, na nangangahulugang ito ay may limitasyon, na tinutukoy ng titik e. Yung.

Alam na ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay totoo para sa mga natural na halaga ng x, pinatutunayan namin ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon para sa tunay na x, iyon ay, pinatutunayan namin na . Isaalang-alang natin ang dalawang kaso:

1. Hayaang ang bawat halaga ng x ay nakapaloob sa pagitan ng dalawang positibong integer: , kung saan ang integer na bahagi ng x. => =>

Kung , pagkatapos Samakatuwid, ayon sa limitasyon meron tayo

Batay sa criterion (tungkol sa limitasyon ng isang intermediate function) ng pagkakaroon ng mga limitasyon

2. Hayaan . Gawin natin ang pagpapalit − x = t, pagkatapos

Mula sa dalawang kasong ito ay sinusundan iyon para sa totoong x.

Mga kahihinatnan:

9 .) Paghahambing ng mga infinitesimal. Ang theorem sa pagpapalit ng mga infinitesimal na may katumbas na mga nasa limitasyon at ang theorem sa pangunahing bahagi ng infinitesimals.

Hayaan ang mga function a( x) at b( x) – b.m. sa x ® x 0 .

MGA DEPINISYON.

1)a( x) tinawag infinitesimal higher order than b (x) Kung

Isulat: a( x) = o(b( x)) .

2)a( x) At b( x)ay tinatawag infinitesimal ng parehong pagkakasunud-sunod, Kung

kung saan CÎℝ at C¹ 0 .

Isulat: a( x) = O(b( x)) .

3)a( x) At b( x) ay tinatawag katumbas , Kung

Isulat: a( x) ~ b( x).

4)a( x) tinatawag na infinitesimal ng order k relative
ganap na infinitesimal b( x), kung infinitesimal a( x)At(b( x))k magkaroon ng parehong pagkakasunud-sunod, i.e. Kung

kung saan CÎℝ at C¹ 0 .

TEOREM 6 (sa pagpapalit ng mga infinitesimal ng mga katumbas).

Hayaan a( x), b( x), isang 1 ( x), b 1 ( x)– b.m. sa x ® x 0 . Kung a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x),

yun

Patunay: Hayaan mo ( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x), Pagkatapos

TEOREM 7 (tungkol sa pangunahing bahagi ng infinitesimal).

Hayaan a( x)At b( x)– b.m. sa x ® x 0 , at b( x)– b.m. mas mataas na pagkakasunud-sunod kaysa a( x).

= , a simula b( x) – mas mataas na pagkakasunud-sunod kaysa sa a( x), pagkatapos, ibig sabihin. mula sa malinaw na a( x) + b( x) ~ a( x)

10) Continuity ng isang function sa isang point (sa wika ng epsilon-delta, geometric na limitasyon) One-sided continuity. Continuity sa isang interval, sa isang segment. Mga katangian ng tuluy-tuloy na pag-andar.

1. Mga pangunahing kahulugan

Hayaan f(x) ay tinukoy sa ilang kapitbahayan ng punto x 0 .

KAHULUGAN 1. Tungkulin f(x) tinawag tuloy-tuloy sa isang punto x 0 kung totoo ang pagkakapantay-pantay

Mga Tala.

1) Sa bisa ng Theorem 5 §3, ang pagkakapantay-pantay (1) ay maaaring isulat sa anyo

Kundisyon (2) – kahulugan ng pagpapatuloy ng isang function sa isang punto sa wika ng isang panig na mga limitasyon.

2) Ang pagkakapantay-pantay (1) ay maaari ding isulat bilang:

Sabi nila: "kung ang isang function ay tuloy-tuloy sa isang punto x 0, pagkatapos ay ang sign ng limitasyon at ang function ay maaaring palitan."

KAHULUGAN 2 (sa wikang e-d).

Tungkulin f(x) tinawag tuloy-tuloy sa isang punto x 0 Kung"e>0 $d>0 ganyan, Ano

kung xОU( x 0 , d) (ibig sabihin | x – x 0 | < d),

pagkatapos f(x)ÎU( f(x 0), e) (ibig sabihin | f(x) – f(x 0) | < e).

Hayaan x, x 0 Î D(f) (x 0 - naayos, x – arbitrary)

Tukuyin natin: D x= x – x 0 – pagtaas ng argumento

D f(x 0) = f(x) – f(x 0) – pagtaas ng function sa pointx 0

KAHULUGAN 3 (geometric).

Tungkulin f(x) sa tinawag tuloy-tuloy sa isang punto x 0 kung sa puntong ito ang isang infinitesimal increment sa argument ay tumutugma sa isang infinitesimal na increment sa function, ibig sabihin.

Hayaan ang function f(x) ay tinukoy sa pagitan [ x 0 ; x 0 + d) (sa pagitan ( x 0 – d; x 0 ]).

DEPINISYON. Tungkulin f(x) tinawag tuloy-tuloy sa isang punto x 0 tama (umalis ), kung totoo ang pagkakapantay-pantay

Obvious naman yun f(x) ay tuloy-tuloy sa punto x 0 Û f(x) ay tuloy-tuloy sa punto x 0 kanan at kaliwa.

DEPINISYON. Tungkulin f(x) tinawag tuloy-tuloy para sa isang pagitan e ( a; b) kung ito ay tuloy-tuloy sa bawat punto ng agwat na ito.

Tungkulin f(x) ay tinatawag na tuloy-tuloy sa segment [a; b] kung ito ay tuloy-tuloy sa pagitan (a; b) at may one-way na pagpapatuloy sa mga boundary point(ibig sabihin, tuloy-tuloy sa punto a sa kanan, sa punto b- kaliwa).

11) Mga break point, ang kanilang klasipikasyon

DEPINISYON. Kung function f(x) tinukoy sa ilang kapitbahayan ng punto x 0 , ngunit hindi tuloy-tuloy sa puntong ito, kung gayon f(x) tinatawag na discontinuous sa punto x 0 , at ang punto mismo x 0 tinatawag na break point mga tungkulin f(x) .

Mga Tala.

1) f(x) ay maaaring tukuyin sa isang hindi kumpletong kapitbahayan ng punto x 0 .

Pagkatapos ay isaalang-alang ang kaukulang one-way na pagpapatuloy ng function.

2) Mula sa kahulugan ng Þ point x 0 ang break point ng function f(x) sa dalawang kaso:

a) U( x 0 , d)О D(f), ngunit para sa f(x) hindi pinanghahawakan ang pagkakapantay-pantay

b) U * ( x 0 , d)О D(f) .

Para sa mga elementary function, tanging case b) ang posible.

Hayaan x 0 – function break point f(x) .

DEPINISYON. Punto x 0 tinawag break point ako uri ng kung function f(x)may hangganang limitasyon sa kaliwa at kanan sa puntong ito.

Kung ang mga limitasyong ito ay pantay, pagkatapos ay ituro ang x 0 tinawag naaalis na break point , kung hindi - jump point .

DEPINISYON. Punto x 0 tinawag break point II uri ng kung hindi bababa sa isa sa mga one-sided na limitasyon ng function f(x)sa puntong ito ay pantay¥ o wala.

12) Mga katangian ng mga function na tuloy-tuloy sa isang pagitan (theorems ng Weierstrass (walang patunay) at Cauchy

Ang teorama ni Weierstrass

Hayaang maging tuluy-tuloy ang function na f(x) sa pagitan, pagkatapos

1)f(x) ay limitado sa

2) Kinukuha ng f(x) ang pinakamaliit at pinakamalaking halaga nito sa pagitan

Kahulugan: Ang halaga ng function na m=f ay tinatawag na pinakamaliit kung m≤f(x) para sa anumang x€ D(f).

Ang halaga ng function na m=f ay sinasabing pinakamalaki kung m≥f(x) para sa anumang x € D(f).

Ang function ay maaaring tumagal sa pinakamaliit/pinakamalaking halaga sa ilang mga punto ng segment.

f(x 3)=f(x 4)=max

Ang teorama ni Cauchy.

Hayaang maging tuluy-tuloy ang function na f(x) sa segment at hayaang ang x ay ang bilang na nasa pagitan ng f(a) at f(b), pagkatapos ay mayroong kahit isang punto x 0 € na ang f(x 0)= g

Mayroong ilang mga kapansin-pansin na mga limitasyon, ngunit ang pinakasikat ay ang una at pangalawang kahanga-hangang mga limitasyon. Ang kapansin-pansing bagay tungkol sa mga limitasyong ito ay ang mga ito ay malawakang ginagamit at sa kanilang tulong ay makakahanap ka ng iba pang mga limitasyon na makikita sa maraming problema. Ito ang gagawin natin sa praktikal na bahagi ng araling ito. Upang malutas ang mga problema sa pamamagitan ng pagbawas sa mga ito sa una o pangalawang kapansin-pansin na limitasyon, hindi na kailangang ibunyag ang mga kawalan ng katiyakan na nakapaloob sa mga ito, dahil ang mga halaga ng mga limitasyong ito ay matagal nang hinuhusgahan ng mga dakilang mathematician.

Ang unang kahanga-hangang limitasyon ay tinatawag na limitasyon ng ratio ng sine ng isang infinitesimal arc sa parehong arc, na ipinahayag sa radian measure:

Lumipat tayo sa paglutas ng mga problema sa unang kapansin-pansing limitasyon. Tandaan: kung mayroong trigonometric function sa ilalim ng limit sign, ito ay halos siguradong senyales na ang expression na ito ay maaaring bawasan sa unang kapansin-pansing limitasyon.

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1. Hanapin ang limitasyon.

Solusyon. Pagpapalit sa halip x ang zero ay humahantong sa kawalan ng katiyakan:

.

Ang denominator ay sine, samakatuwid, ang expression ay maaaring dalhin sa unang kapansin-pansin na limitasyon. Simulan natin ang pagbabago:

.

Ang denominator ay ang sine ng tatlong X, ngunit ang numerator ay may isang X lamang, na nangangahulugang kailangan mong makakuha ng tatlong X sa numerator. Para saan? Upang ipakilala 3 x = a at makuha ang expression.

At dumating tayo sa isang pagkakaiba-iba ng unang kahanga-hangang limitasyon:

dahil hindi mahalaga kung aling titik (variable) sa formula na ito ang nakatayo sa halip na X.

I-multiply namin ang X sa tatlo at agad na hatiin:

.

Alinsunod sa unang napansing kapansin-pansing limitasyon, pinapalitan namin ang fractional expression:

Ngayon ay malulutas na natin ang limitasyong ito:

.

Solusyon. Hanapin ang limitasyon.

Solusyon. Ang direktang pagpapalit ay muling humahantong sa kawalan ng katiyakan na "zero na hinati ng zero":

.

Upang makuha ang unang kapansin-pansing limitasyon, kinakailangan na ang x sa ilalim ng sine sign sa numerator at ang x lamang sa denominator ay may parehong koepisyent. Hayaan ang coefficient na ito ay katumbas ng 2. Upang gawin ito, isipin ang kasalukuyang coefficient para sa x tulad ng nasa ibaba, na gumaganap ng mga operasyon na may mga fraction, makuha namin ang:

.

Halimbawa 2. Hanapin ang limitasyon.

Solusyon. Kapag nagpapalit, muli nating makukuha ang kawalan ng katiyakan na "zero na hinati ng zero":

.

Malamang na naiintindihan mo na mula sa orihinal na expression maaari mong makuha ang unang kamangha-manghang limitasyon na pinarami ng unang kamangha-manghang limitasyon. Upang gawin ito, nabubulok namin ang mga parisukat ng x sa numerator at ang sine sa denominator sa magkatulad na mga kadahilanan, at upang makakuha ng parehong mga coefficient para sa x at sine, hinahati namin ang x sa numerator sa pamamagitan ng 3 at agad na dumami. sa pamamagitan ng 3. Nakukuha namin ang:

.

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. Hanapin ang limitasyon.

Solusyon. Muli nating nakuha ang kawalan ng katiyakan na "zero na hinati ng zero":

.

Makukuha natin ang ratio ng unang dalawang kapansin-pansing limitasyon. Hinahati namin ang numerator at ang denominator sa x. Pagkatapos, upang ang mga coefficient para sa mga sine at xes ay nag-tutugma, pinarami namin ang itaas na x sa 2 at agad na hinahati sa 2, at i-multiply ang mas mababang x sa 3 at agad na hinahati sa 3. Nakukuha namin:

Nakakuha kami ng kawalan ng katiyakan sa form na $\left$. Ang limitasyon ay maaaring bawasan sa pangalawang kahanga-hangang bagay. Ibahin natin: Hanapin ang limitasyon.

Solusyon. At muli ang kawalan ng katiyakan ng "zero na hinati ng zero":

Naaalala namin mula sa trigonometry na ang tangent ay ang ratio ng sine sa cosine, at ang cosine ng zero ay katumbas ng isa. Isinasagawa namin ang mga pagbabagong-anyo at makakuha ng:

.

Halimbawa 6. Hanapin ang limitasyon.

Solusyon. Ang trigonometric function sa ilalim ng sign ng isang limitasyon ay muling nagmumungkahi ng paggamit ng unang kapansin-pansin na limitasyon. Kinakatawan namin ito bilang ratio ng sine sa cosine.