Консервативные силы. Работа силы тяжести

В повседневной жизни часто приходится встречаться с таким понятием как работа. Что это слово означает в физике и как определить работу силы упругости? Ответы на эти вопросы вы узнаете в статье.

Механическая работа

Работа - это скалярная алгебраическая величина, которая характеризует связь между силой и перемещением. При совпадении направления этих двух переменных она вычисляется по следующей формуле:

• F - модуль вектора силы, которая совершает работу;
• S - модуль вектора перемещения.

Не всегда сила, которая действует на тело, совершает работу. Например, работа силы тяжести равна нулю, если ее направление перпендикулярно перемещению тела.

Если вектор силы образует отличный от нуля угол с вектором перемещения, то для определения работы следует воспользоваться другой формулой:

A=FScosα

α - угол между векторами силы и перемещения.

Значит, механическая работа - это произведение проекции силы на направление перемещения и модуля перемещения, или произведение проекции перемещения на направление силы и модуля этой силы.

Знак механической работы

В зависимости от направления силы относительно перемещения тела работа A может быть:

• положительной (0°≤ α<90°);
• отрицательной (90°<α≤180°);
• равной нулю (α=90°).

Если A>0, то скорость тела увеличивается. Пример - падение яблока с дерева на землю. При A<0 сила препятствует ускорению тела. Например, действие силы трения скольжения.

Единица измерения работы в СИ (Международной системе единиц) - Джоуль (1Н*1м=Дж). Джоуль - это работа силы, значение которой равно 1 Ньютону, при перемещении тела на 1 метр в направлении действия силы.

Работа силы упругости

Работу силы можно определить и графическим способом. Для этого вычисляется площадь криволинейной фигуры под графиком F s (x).

Так, по графику зависимости силы упругости от удлинения пружины, можно вывести формулу работы силы упругости.

Она равна:

A=kx 2 /2

• k - жесткость;
• x - абсолютное удлинение.

Что мы узнали?

Механическая работа совершается при действии на тело силы, которая приводит к перемещению тела. В зависимости от угла, который возникает между силой и перемещением, работа может быть равна нулю или иметь отрицательный или положительный знак. На примере силы упругости вы узнали о графическом способе определения работы.

Упругой силой называют силу F =-k r , гдеF - упругая сила,к - коэффициент упругости,r - радиус-вектор, определяющий смещение от положения равновесия.

Элементарная работа упругой силы равна F d r =-k r d r = .

Работа на конечном перемещении из точки 1 в точку 2

.

Обратите внимание на то, что в ходе анализа не учитывалась форма траектории, по которой перемещалась частица под действием упругой силы.

Учтите также, что если начальное и конечное положения совпадают, то работа упругой силы равна нулю.

3.1.2. Работа силы тяжести

Вблизи от поверхности Земли сила тяжести практически одинакова во всех точках и равна m g , гдет - масса тела,g - ускорение свободного падения.

Элементарная работа силы тяжести равна F d r = m g d r . Работу на конечном перемещении из точки 1 в точку 2 можно найти, просто суммируя работы на элементарных перемещениях.

Разобьем траекторию на бесконечно малые прямолинейные участки, часть которых параллельна силе тяжести и ускорению свободного падения, а часть им перпендикулярна.

На участках, перпендикулярных силе тяжести, скалярное произведение g d r будет равно нулю. На параллельных же участках скалярное произведениеg d r будет равно произведению модулей этих векторов:gdh (вместоr использован символh , так как координату в вертикальном направлении обычно называют высотой; произведение положительно, поскольку будем полагать, что тело опускалось и направление элементарных перемещений совпадало с направлением ускорения свободного падения). Сумма всехmgdh между точками1 и2 будет равна работе силы тяжести

A 12 =mg(h 1 -h 2).

Заметьте, что на результат анализа не влияет форма траектории, по которой перемещалось тело.

Учтите также, что если начальное и конечное положения совпадают, то работа силы тяжести равна нулю.

З.1.3. РАБОТА СИЛЫ ТРЕНИЯ

Пусть некоторое тело перемещается вдоль прямой из точки 1 в точку 2, а затем обратно в точку 1.

Пусть сила трения скольжения, действующая на тело, во всех точках оди­накова. В этом случае работа на конечном перемещении A =F r .

Сила трения всегда направлена против направления движения, следовательно, угол между силой трения и вектором перемещения равен 180. Поэтому работа как при перемещении из точки 1 в точку 2, так при перемещении из точки 2 в точку 1, будет отрицательна:A 12 =-F r ,A 21 =-F r .

Величина r на участках 12 и 21 одинакова. Следовательно, полная работаА 121 =А 12 +А 21 =-2F r 0.

3.2. Консервативные силы

Работа силы по перемещению частицы из точки 1 в точку 2 зависит, в общем случае, от формы траектории между точками 1 и 2. Но существуют и такие силы, рабо­та которых не зависит от формы траектории, а определя­ется только положением начальной и конечной точки. В разд. 3.1 было показано, что такое свойство присуще силе тяжести и упругой силе. Такие силы называютсяконсервативными.

Определение консервативной силы можно сформулировать и иначе: сила является консервативной, если её работа на замкнутой траектории равна нулю

.

Консервативны не только сила тяжести и упругая сила. Установлено, что консервативными являются все силы, которые обратно пропорциональны квадрату расстояния между взаимодействующими телами.

Если работа силы на замкнутой траектории не равна нулю, то сила является неконсервативной. В разд. 3.1.3 было показано, что сила трения на замкнутой траектории не равна нулю, следовательно, сила трения неконсервативна.

Консервативные силы возникают при взаимодействии тел как соприкасающихся, так и находящихся на расстоянии друг от друга. Например, брошенный камень не соприкасается с поверхностью Земли, но сила тяжести на него действует.

Взаимодействие несоприкасающихся тел объясняют тем, что каждое тело создаёт вокруг себя поле, с которым взаимодействуют все остальные тела.

Если силы, действующие на тела, находящиеся в поле, консервативны, то поле называют консервативным полем.

Если поле не изменяется с течением времени, его называют стационарным консервативным полем.

Рассмотрим пружину жесткости k , находящуюся первона­чально в нерастянутом (свободном) состоянии, которую растягивают на Dх (рис. 20.5) и вычислим работу силы упругости.

По закону Гука сила уп­ругости пропорциональна деформации пружины: , где |Dх | – величина деформации. Причем, сила упругости направлена противоположно деформации пружины, т.е. .

Построим график , где х – величина деформации (см. pиc. 20.5): это – график линейной функции. Угол между и равен 180°, поэтому работа силы упругости будет отрицательной. Эта работа численно равна площади S треугольника ОАВ , но взятой со знаком минус:

. (22.3)

Читатель . Изменится ли результат, если пружину не растянуть, а сжать на расстояние Dх ?

Задача 20.2. Растяжение пружины (общий случай). Пружину жесткостью k = 200 Н/м растянули сначала на Dl 1 = 20 см, а потом еще на Dl 2 = 5,0 см. Какую работу совершили в первом и втором случае?

k = 200 Н/м Dl 1 = 20 см = 0,20 м Dl 2 =5,0 см = 0,050 м
А 1 = ? А 2 = ?
Рис. 20.6

Решение . В данном случае направление силы совпадает с перемещением, поэтому работа положительная. Построим график зависимости силы F , растягивающей пружину, от величины дефор­мации х (рис. 20.6). Работу на участке Dl 1 можно вычис­лить как площадь DА 0В :

Работу на участке Dl 2 можно вычислить как площадь трапеции АВСD , которая, как известно из геометрии, равна произведению полу­суммы оснований на высоту:

.

По графику находим АВ = F 1 = k Dl 1 ; CD = F 2 = k (Dl 1 + Dl 2); ВС = Dl 2 .

Подставим численные значения:

= ×(2×0,20 м + 0,050 м) ×0,050 м »

Ответ: А 1 » 4,0 Дж; A 2 » 2,3 Дж.

СТОП! Решите самостоятельно: А5, А6, В6, В7, С1.

Задача 20.3 . Груз массы m = 3,0 т поднимается лебедкой с ускорением а = 2,0 м/с 2 . Определить работу, произведенную в первые t = 2,0 с от начала подъема.

3,0×10 3 кг × (9,8 м/с 2 + 2,0 м/с 2)

141600 Дж » 0,14 МДж.

Ответ : » 0,14 МДж.

СТОП! Решите самостоятельно: В8, С2.

Задача 20.4. К лежащему на горизонтальной поверхности брус­ку массы m = 12 кг прикреплена пружина жесткостью k = 300 Н/м. Коэффициент трения между бруском и поверхностью m = 0,40. Вначале пружина не деформирована. Затем, приложив к свободному концу пружины горизонтальную силу , медленно переместили брусок на расстояние s = 0,40 м. Какая работа была при этом совершена силой ? Принять g = 10 м/с 2 .

то брусок будет оставаться на месте, а пру­жина будет растягиваться (рис. 20.8,б ). Следовательно, до момен­та начала движения бруска сила будет совершать работу по растяжению пружины на расстояние Dх .

«Физика - 10 класс»

Вычислим работу силы тяжести при падении тела (например, камня) вертикально вниз.

В начальный момент времени тело находилось на высоте hx над поверхностью Земли, а в конечный момент времени - на высоте h 2 (рис. 5.8). Модуль перемещения тела |Δ| = h 1 - h 2 .

Направления векторов силы тяжести T и перемещения Δ совпадают. Согласно определению работы (см. формулу (5.2)) имеем

А = | Т | |Δ|cos0° = mg(h 1 - h 2) = mgh 1 - mgh 2 . (5.12)

Пусть теперь тело бросили вертикально вверх из точки, расположенной на высоте h 1 над поверхностью Земли, и оно достигло высоты h 2 (рис. 5.9). Векторы Т и Δ направлены в противоположные стороны, а модуль перемещения |Δ| = h 2 - h 1 . Работу силы тяжести запишем так:

А = | Т | |Δ|cos180° = -mg(h 2 - h 1) = mgh 1 - mgh 2 . (5.13)

Если же тело перемещается по прямой так, что направление перемещения составляет угол а с направлением силы тяжести (рис. 5.10), то работа силы тяжести равна:

А = | Т | |Δ|cosα = mg|BC|cosα.

Из прямоугольного треугольника BCD видно, что |BC|cosα = BD = h 1 - h 2 . Следовательно,

А = mg(h 1 - h 2) = mgh 1 - mgh 2 . (5.14)

Это выражение совпадает с выражением (5.12).

Формулы (5.12), (5.13), (5.14) дают возможность подметить важную закономерность. При прямолинейном движении тела работа силы тяжести в каждом случае равна разности двух значений величины, зависящей от положений тела, определяемых высотами h 1 и h 2 над поверхностью Земли.

Более того, работа силы тяжести при перемещении тела массой т из одного положения в другое не зависит от формы траектории, по которой движется тело. Действительно, если тело перемещается вдоль кривой ВС (рис. 5.11), то, представив эту кривую в виде ступенчатой линии, состоящей из вертикальных и горизонтальных участков малой длины, увидим, что на горизонтальных участках работа силы тяжести равна нулю, так как сила перпендикулярна перемещению, а сумма работ на вертикальных участках равна работе, которую совершила бы сила тяжести при перемещении тела по вертикальному отрезку длиной h 1 - h 2 . Таким образом, работа силы тяжести при перемещении вдоль кривой ВС равна:

А = mgh 1 - mgh 2 .

Работа силы тяжести не зависит от формы траектории, а зависит только от положений начальной и конечной точек траектории.

Определим работу А при перемещении тела по замкнутому контуру, например по контуру BCDEB (рис. 5.12). Работа А 1 силы тяжести при перемещении тела из точки В в точку D по траектории BCD: А 1 = mg(h 2 - h 1), по траектории DEB: А 2 = mg(h 1 - h 2).

Тогда суммарная работа А = А 1 + А 2 = mg(h 2 - h 1) + mg(h 1 - h 2) = 0.

При движении тела по замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю.

Итак работа силы тяжести не зависит от формы траектории тела; она определяется лишь начальным и конечным положениями тела. При перемещении тела по замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю.

Силы, работа которых не зависит от формы траектории точки приложения силы и по замкнутой траектории равна нулю, называют консервативными силами .

Сила тяжести является консервативной силой.

Краткое описание урока

Главное на уроке – изучение нового материала и практическое применение знаний при решении задач.

В начале урока учащиеся выполняют фронтальную самостоятельную работу по темам: «Работа силы и работа силы тяжести». Затем учащиеся проводят взаимопроверку самостоятельной работы с выставлением оценки.

На следующем этапе урока прошу учащихся доказать, что сила упругости – консервативная. Идёт объяснение материала с элементами беседы.

Приходим к выводу, который должны сделать учащиеся: работа силы упругости зависит от деформации пружины в начальном и конечном состоянии и не зависит от формы траектории. Сила упругости – консервативная сила.

На следующем этапе учащиеся самостоятельно решают предложенные задачи с последующей проверкой у доски. На уроке использованы такие формы работы, которые позволяют развивать ключевые компетентности обучающихся: познавательные, языковые, научные, коммуникативные и другие, которые помогут учащемуся ориентироваться в социуме.

Тип урока – комбинированный

Задачи урока:

• Образовательные : показать, что сила упругости консервативна, получить формулу для расчета работы силы упругости.
• Развивающие : развивать умение анализировать, делать конспект, обобщать, сравнивать, делать выводы.
• Воспитательные : развивать познавательный интерес к предмету, развивать навыки коммуникативного общения.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

– Сегодня на уроке мы с вами докажем, что сила упругости консервативная сила. Но для успешного достижения нашей цели вы выполните небольшую проверочную работу.

2. Самостоятельная работа

1. По какой формуле рассчитывается работа силы?

2. В каком случае работа силы положительная?

3. Силы называют консервативными, если они обладают свойствами:

A. Работа силы не зависит от формы траектории, по которой движется тело.
Б. Работа силы определяется начальным и конечным положением тела.
В. При движении тела по замкнутой траектории работа силы равна нулю.
Г. работа силы зависит от формы траектории движения тела.

4. Тело брошено вертикально вверх. Какую работу совершила сила тяжести?

А. положительную. Б. отрицательную. В. равную нулю. Г. никакую.

5. Тело массой 2 кг под действием силы тяжести в 30Н поднимается на высоту 15м. Чему равна работа этой силы?

А. 47Дж. Б. 0Дж. В. 4Дж. Г. 900Дж.

4. Новый материал

– По какой формуле рассчитывается работа сила?

– Сформулируйте и запишите закон Гука.

По закону Гука: Fупр = – kx

– Является ли сила упругости постоянной силой?

Для вычисления работы силы упругости воспользуемся графиком зависимости модуля силы упругости от координаты.

Работа силы упругости численно равна площади трапеции BCDM.

Вывод: работа силы упругости зависит от деформации пружины в начальном и конечном состоянии и не зависит от формы траектории. Сила упругости – консервативная сила.

3. Решение задач

1) Резиновый шнур длиной 1м под действием груза 10Н удлинился на 10см. Найти работу силы упругости.

2) Под нагрузкой 8кН балка прогибается на 1мм. Какая потребуется работа, чтобы балка прогнулась на 6мм.

3) При удлинении спиральной пружины на 10см возникает сила упругости 150Н. Начертить график зависимости силы упругости от удлинения пружины. По графику определить работу, совершаемую силой упругости при удлинении пружины на 8,5см.

4. Подведение итогов и выставление оценок.

5. Домашнее задание §48, повторить §47.Подготовиться к проверочной работе.

Литература.

1. Учебник физики10 класс, Г. Я. Мякишев , Б. Б. Буховцев, Н. Н. Сотский.
2. Сборник задач по физике В. П. Демкович, Л. П. Демкович.